Нетрудно описать все натуральные числа, представимые в виде разности квадратов целых. Пусть n=x2−y2=(x−y)(x+y), где x>y. Числа x−y и x+y имеют одинаковую чётность. Если они оба чётны, то n делится на 4. Если оба нечётны, то n нечётно.Числа того и другого вида в виде разности квадратов представимы. А именно, если n=4k, где kнатуральное, то полагаем x−y=2, x+y=2k, в качестве чего подходят x=k+1 и x=k−1. Если n нечётно, то полагаем x−y=1, x+y=n, и подойдут x=n+12, y=n−12.Таким образом, надо найти двухтысячное натуральное число вида 4m−2, где m натуральное. ответ: 7998
Полк выстроили в форме прямоугольника. Пусть в рядах а человек, в колоннах- b человек. Всего ab человек в полку.
1% от ab - это 0,01 ab.
По условию награжденные солдаты встречаются ровно в 30% рядов- это 0,3а и в 40% колонн-это 0,4b.
Составляем систему неравенств : 0,3a<0,01ab и 0,4b < 0, 01ab. умножаем каждое неравенство на 100: 30а<ab 40b<ab или a>30 b>40 Ясно, что ab > 1200. Следующее за ним число 1201- наименьшее, но оно не может служить ответом, так как является простым числом, поэтому 1201 нельзя представить в виде произведения ab - не выполняется первое условие. "Полк выстроили в форме прямоугольника" ответ.1202
