Question

Функция f(x) является первообразной для функции f(x)= x^2 -5x+4/√x+2 найти значение минимума функции

Answer 1

Извините какой это класс?

Answer 2

Для начала, нам нужно найти первообразную функцию f(x), чтобы понять, как найти значение минимума этой функции.

Итак, для функции f(x)= x^2 -5x+4/√x+2, мы можем применить метод дифференцирования, чтобы найти первообразную. Чтобы дифференцировать функцию, сначала разделим числитель и знаменатель:

f(x) = (x^2 - 5x + 4) / √(x + 2)

Теперь давайте продифференцируем числитель и знаменатель отдельно.

Дифференцируя числитель, мы получим:

f'(x) = 2x - 5

Дифференцируя знаменатель, мы получим:

√(x + 2) = (x + 2)^(1/2)
(√(x + 2))' = 1/2 * (x + 2)^(-1/2)

Теперь, когда у нас есть производная числителя и знаменателя, мы можем собрать все вместе, чтобы найти первообразную:

F(x) = ∫ (2x - 5) / [(x + 2)^(1/2)] dx

Для интегрирования этой функции, мы можем использовать метод подстановки. Поэтому, давайте введем замену:

u = x + 2

Тогда, мы можем переписать нашу первообразную следующим образом:

F(x) = ∫ (2(u - 2) - 5) / u^(1/2) du
= ∫ (2u - 4 - 5u^(1/2)) / u^(1/2) du
= ∫ 2u^(1/2) - 4u^(-1/2) - 5 du

Теперь мы можем интегрировать каждое слагаемое отдельно:

F(x) = 2 * ∫ u^(1/2) du - 4 * ∫ u^(-1/2) du - 5 * ∫ 1 du

Известно, что ∫ x^n dx = (x^(n+1)) / (n+1), поэтому:

F(x) = 2 * (u^(3/2)) / (3/2) - 4 * (u^(1/2)) / (1/2) - 5 * (u)

Упростим выражение:

F(x) = 4/3 * u^(3/2) - 8 * u^(1/2) - 5u

Теперь, заменим u обратно на x + 2:

F(x) = 4/3 * (x + 2)^(3/2) - 8 * (x + 2)^(1/2) - 5(x + 2)

Вот наша первообразная функция, которая является первообразной для исходной функции f(x).

Теперь, чтобы найти значение минимума функции, мы должны найти критические точки. Критическая точка - это точка, в которой производная функции равна нулю или не существует.

Давайте найдем производную первообразной функции:

F'(x) = 4/3 * (3/2) * (x + 2)^(1/2) - 8/2 * (x + 2)^(-1/2) - 5

Упростим производную:

F'(x) = 2/3 * (x + 2)^(1/2) - 4/(x + 2)^(1/2) - 5

Теперь, чтобы найти критические точки, приравняем производную к нулю и решим уравнение:

2/3 * (x + 2)^(1/2) - 4/(x + 2)^(1/2) - 5 = 0

Умножим обе стороны уравнения на (x + 2)^(1/2), чтобы избавиться от знаменателя:

2(x + 2) - 4 - 5(x + 2)^(1/2) = 0

2x + 4 - 4 - 5(x + 2)^(1/2) = 0

2x - 5(x + 2)^(1/2) = 0

Теперь, решим это уравнение:

2x = 5(x + 2)^(1/2)

Возведем обе стороны уравнения в квадрат:

4x^2 = 25(x + 2)

4x^2 = 25x + 50

4x^2 - 25x - 50 = 0

Найдем значения x, решая это квадратное уравнение:

x = (25 ± √(25^2 - 4*4*(-50))) / (2*4)

x = (25 ± √(625 + 800)) / 8

x = (25 ± √1425) / 8

Теперь, мы должны проверить, являются ли найденные значения x критическими точками или не существуют.

Подставим найденные значения x обратно в производную F'(x), чтобы проверить:

F'((25 + √1425) / 8) = 2/3 * ((25 + √1425) / 8 + 2)^(1/2) - 4/((25 + √1425) / 8 + 2)^(1/2) - 5

F'((25 - √1425) / 8) = 2/3 * ((25 - √1425) / 8 + 2)^(1/2) - 4/((25 - √1425) / 8 + 2)^(1/2) - 5

Если оба значения равны нулю, то они являются критическими точками, и мы можем найти значение минимума функции, подставив их обратно в исходную функцию f(x).

Надеюсь, это решение будет понятным для школьника и поможет вам решить задачу.