Question

При каких значениях параметра p система x^2 + y^2 - 2x =0
x^2 - y^2 = 2p
будет иметь ровно одно решение
!

Answer 1

Для начала, давайте посмотрим на систему уравнений:

x^2 + y^2 - 2x = 0 (1)
x^2 - y^2 = 2p (2)

Чтобы определить, при каких значениях параметра p система будет иметь ровно одно решение, мы можем воспользоваться методом исключения переменных.

Давайте начнем с уравнения (2) и попробуем избавиться от x^2 уравнением (1). Для этого вычтем уравнение (2) из уравнения (1):

(x^2 + y^2 - 2x) - (x^2 - y^2) = 0 - 2p

Раскроем скобки и упростим выражение:

x^2 + y^2 - 2x - x^2 + y^2 = -2p

y^2 - 2x + y^2 = -2p

2y^2 - 2x = -2p
y^2 - x = -p (3)

Теперь мы можем выразить x через y из (3):

x = y^2 + p (4)

Подставим (4) в (1):

(y^2 + p)^2 + y^2 - 2(y^2 + p) = 0

y^4 + 2p*y^2 + p^2 + y^2 - 2y^2 - 2p = 0

y^4 + (2p - 1)y^2 + (p^2 - 2p) = 0

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно y^2. Чтобы иметь ровно одно решение, дискриминант этого уравнения должен быть равен нулю.

Дискриминант квадратного уравнения ax^2 + bx + c = 0 вычисляется по формуле D = b^2 - 4ac.

В нашем случае, a = 1, b = 2p - 1, c = p^2 - 2p. Подставим эти значения в формулу дискриминанта:

D = (2p - 1)^2 - 4*1*(p^2 - 2p)

D = 4p^2 - 4p + 1 - 4p^2 + 8p

D = 4p^2 - 4p^2 + 8p - 4p + 1

D = 4p - 3

Теперь приравняем D к нулю и решим полученное уравнение:

4p - 3 = 0
4p = 3
p = 3/4

Итак, система будет иметь ровно одно решение при значении параметра p = 3/4.