Question

Даны координаты вершин пирамиды а(10,2,-1) в(4,-5,-3) с(8,3,5) d(0,1,8).
найти угол между ребром ad и гранью авс

Answer 1

Чтобы найти угол между ребром ad и гранью авс, нам необходимо знать координаты трех точек на этой грани. Найдем эти точки.

У нас уже есть точки а(10,2,-1) и с(8,3,5), поэтому нам нужно найти координаты точки в.

Для этого мы можем использовать векторное произведение двух векторов: ac и ad.

Вектор ac можно получить, вычитая из координат точки с координаты точки а:

ac = с - а = (8,3,5) - (10,2,-1) = (-2,1,6)

Точно так же, вектор ad мы можем получить, вычитая из координат точки d координаты точки а:

ad = d - а = (0,1,8) - (10,2,-1) = (-10, -1, 9)

Теперь мы можем найти векторное произведение двух векторов ac и ad.

Векторное произведение ac и ad, обозначим его как ab, находится по формуле:

ab = (ac x ad)

где "x" обозначает векторное произведение.

Чтобы найти векторное произведение, мы можем использовать следующие формулы:

abx = aybz - azby
aby = azbx - axbz
abz = axby - aybx

Подставим значения координат:

abx = (-2)(-1) - (1)(-10) = 2 + 10 = 12
aby = (1)(-9) - (-2)(-10) = -9 + 20 = 11
abz = (-2)(-1) - (1)(-1) = 2 - 1 = 1

Таким образом, получаем вектор ab = (12, 11, 1)

Теперь, когда у нас есть вектор ab, мы можем найти косинус угла между векторами ab и av, где av - это вектор, направленный от точки а к точке в.

Вектор av можно получить, вычитая из координат точки в координаты точки а:

av = в - а = (4,-5,-3) - (10,2,-1) = (-6,-7,-2)

Используя формулу для скалярного произведения двух векторов:

cosθ = (ab • av) / (|ab| * |av|)

где "•" обозначает скалярное произведение, "|" обозначает модули (длины) векторов, а θ - это искомый угол, мы можем найти косинус угла θ.

Скалярное произведение ab и av, обозначим его как dotProduct, вычисляется так:

dotProduct = (ab • av) = abx * avx + aby * avy + abz * avz

Подставим значения координат:

dotProduct = (12)(-6) + (11)(-7) + (1)(-2) = -72 - 77 - 2 = -151

Модули (длины) векторов ab и av вычисляются следующим образом:

|ab| = sqrt(abx^2 + aby^2 + abz^2)

|av| = sqrt(avx^2 + avy^2 + avz^2)

Подставим значения координат:

|ab| = sqrt((12)^2 + (11)^2 + (1)^2) = sqrt(144 + 121 + 1) = sqrt(266) ≈ 16.28
|av| = sqrt((-6)^2 + (-7)^2 + (-2)^2) = sqrt(36 + 49 + 4) = sqrt(89) ≈ 9.43

Теперь мы можем вычислить косинус угла θ:

cosθ = dotProduct / (|ab| * |av|) = -151 / (16.28 * 9.43) ≈ -0.977

Наконец, чтобы найти угол θ, мы можем использовать обратную функцию косинуса (арккосинус):

θ = arccos(cosθ) ≈ arccos(-0.977) ≈ 167.33 градусов

Таким образом, угол между ребром ad и гранью авс составляет примерно 167.33 градусов.