Даны координаты вершин пирамиды а1 а2 а3 а4.
а1 (0; 2; - 2), а2 (1; 0; - 1), а3 (0; 5; - 1), а4 (0; 2; 1).
найти: 1) длину ребра а1 а2; 2) угол между ребрами а1 а2 и а1 а4; 3) угол между ребром а1 а4 и гранью а1 а2 а3; 4) площадь грани а1 а2 а3; 5) объем пирамиды; 6) уравнение прямой а1 а2; 7) уравнение плоскости а1 а2 а3; 8) уравнение высоты, опущенной из вершины а4 на грань а1 а2 а3. сделать чертеж.
OH = 5 см (меньший радиус)
∠AHO = ∠BHO = 90° (по свойству секущей) ⇒
OH - высота ΔAOB
AO = OB ⇒
ΔAOB - равнобедренный ⇒
OH - медиана (по свойству высоты равнобедренного треугольника) ⇒
AH = BH
Запишем теорему Пифагора для ΔAOH
AO² = AH² + OH²
AH = √(AO² - OH²) = √(10² - 5²) = √75 = 5√3
AB = 2AH = 2 · 5√3 = 10√3
Запишем теорему косинусов для ΔAOB
AB² = AO² + OB² - 2 · AO · OB · cos∠AOB
2 · AO · OB · cos∠AOB = AO² + OB² - AB²
cos∠AOB = (AO² + OB² - AB²) / (2 · AO · OB)
cos∠AOB = (100 + 100 - 300) / (2 · 10 · 10) = -0,5
∠AOB = 120°
Найдем площадь сектора:
S = πR²(α / 360°)
S = π · 100 · (1 / 3) = 100π/3 ≈ 105
ответ: 100π/3 см² ≈ 105 см²