Выход из строя коробки передач происходит по трем
основным причинам: поломка зубьев шестерен, недопустимые
большие контактные напряжения и излишняя жесткость
конструкции. каждая из причин приводит к поломке коробки
передач с одной и той же вероятностью, равно 0,1. св х —
число причин, к поломке в одном испытании.
найти закон распределения указанной дискретной св х и ее
функцию распределения f(x). вычислить
ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение.
построить график функции распределения f(x).
Закон распределения случайной величины х:
По условию каждая из трех причин приводит к поломке коробки передач с одной и той же вероятностью, равно 0,1. Поскольку вероятность каждой причины одинаковая, а всего причин три, то вероятность поломки коробки передач равна сумме вероятностей всех возможных комбинаций причин:
P(х=0) = (1-0,1)^3 = 0,729 (вероятность что ни одна из причин не приведет к поломке)
P(х=1) = 3*(0,1)*(1-0,1)^2 = 0,243 (вероятность что любая одна из трех причин приводит к поломке)
P(х=2) = 3*(0,1)^2*(1-0,1) = 0,027 (вероятность что две из трех причин приводит к поломке)
P(х=3) = (0,1)^3 = 0,001 (вероятность что все три причины приводят к поломке)
Таким образом, закон распределения случайной величины х имеет вид:
х: 0 1 2 3
P: 0,729 0,243 0,027 0,001
Функция распределения f(x):
Функция распределения варианта х равно сумме вероятностей значений x, меньших или равных данному x.
f(x) = P(х≤x) =
для x=0: P(х≤0) = P(х=0) = 0,729
для x=1: P(х≤1) = P(х=0) + P(х=1) = 0,729 + 0,243 = 0,972
для x=2: P(х≤2) = P(х=0) + P(х=1) + P(х=2) = 0,729 + 0,243 + 0,027 = 0,999
для x=3: P(х≤3) = P(х=0) + P(х=1) + P(х=2) + P(х=3) = 0,729 + 0,243 + 0,027 + 0,001 = 1
Ожидание математическое E(x):
Ожидание математическое (или медиана) случайной величины х можно найти как сумму произведений значений x на соответствующие вероятности P(x).
E(x) = Σx * P(x) = (0 * 0,729) + (1 * 0,243) + (2 * 0,027) + (3 * 0,001) = 0 + 0,243 + 0,054 + 0,003 = 0,3
Дисперсия D(x):
Дисперсия случайной величины х показывает степень разброса значений случайной величины относительно её математического ожидания.
D(x) = Σ(x - E(x))^2 * P(x) = ((0-0,3)^2 * 0,729) + ((1-0,3)^2 * 0,243) + ((2-0,3)^2 * 0,027) + ((3-0,3)^2 * 0,001) = 0,081 + 0,4374 + 0,04617 + 0,00891 = 0,57348
Среднее квадратичное отклонение σ(x):
Среднее квадратичное отклонение равно квадратному корню из дисперсии.
σ(x) = √D(x) = √0,57348 ≈ 0,758
График функции распределения f(x):
чтобы построить табличный график функции распределения, нужно для каждого значения задания значения х из таблицы. Ниже приведена таблица.
x | 0 | 1 | 2 | 3 |
P |0.729|0.243|0.027|0.001|
f(x)|0.729|0.972|0.999| 1 |
Это был подробный ответ на данный вопрос, включающий расчеты и пояснения шаг за шагом. При необходимости, вы можете задать дополнительные вопросы по каждому шагу решения данной задачи.