Question

Исследовать на сходимость ряд

Answer 1

$\sum^{\infty}_{n=1}\dfrac{3-n}{n^2+5n+7}=\dfrac{2}{13}+\dfrac{1}{21}+0-\sum^{\infty}_{n=4}\dfrac{n-3}{n^2+5n+7}\\ \sum^{\infty}_{n=4}\dfrac{n-3}{n^2+5n+7}=[k=n-3]=\sum^{\infty}_{k=1}\dfrac{k}{k^2+11k+31}\geq [11k+31\leq 42k^2\: \forall k \geq 1] \geq \sum^{\infty}_{k=1}\dfrac{k}{43k^2}=\dfrac{1}{43}\sum^{\infty}_{k=1}\dfrac{1}{k}$

$\sum^{\infty}_{k=1}\dfrac{1}{k}$ - гармонический ряд, он расходится. Тогда, по признаку сравнения, расходится и ряд $\sum^{\infty}_{k=1}\dfrac{k}{k^2+11k+31}$. Добавление к ряду конечного числа конечных членов не влияет на его сходимость, а значит и исходный ряд расходится