Даны координаты вершин пирамиды abcd a(2,-3,1) b(6,1,-1) c(4,8,-9) d(2,-1,2) требуется: 1)записать векторы ав, ас, ад в системе орт найти модули векторов 2)найти угол между векторами ав ас
3)найти проекцию в ад на вектор ав
4)найти площадь грани авс
5)найти объём п авсд
Вектор ав = b - a = (6, 1, -1) - (2, -3, 1) = (4, 4, -2)
Вектор ас = c - a = (4, 8, -9) - (2, -3, 1) = (2, 11, -10)
Вектор ад = d - a = (2, -1, 2) - (2, -3, 1) = (0, 2, 1)
Модуль (длина) вектора можно найти с помощью формулы: |?| = √(?_?^2 + ?_?^2 + ?_?^2)
Модуль вектора ав: |ав| = √(4^2 + 4^2 + (-2)^2) = √(16 + 16 + 4) = √36 = 6
Модуль вектора ас: |ас| = √(2^2 + 11^2 + (-10)^2) = √(4 + 121 + 100) = √225 = 15
Модуль вектора ад: |ад| = √(0^2 + 2^2 + 1^2) = √(0 + 4 + 1) = √5
2) Чтобы найти угол между векторами ав и ас, мы можем использовать формулу: cos(θ) = (ав * ас) / (|ав| * |ас|), где (ав * ас) - скалярное произведение векторов.
Сначала найдем скалярное произведение векторов ав и ас: (ав * ас) = 4 * 2 + 4 * 11 + (-2) * (-10) = 8 + 44 + 20 = 72
Теперь можем найти угол θ: cos(θ) = 72 / (6 * 15) = 72 / 90 = 0.8
Для нахождения самого угла θ применим обратную функцию cos: θ = arccos(0.8) ≈ 37.39°
3) Чтобы найти проекцию вектора ад на вектор ав, мы можем использовать формулу: проекция = (ад * ав) / |ав|
Сначала найдем скалярное произведение векторов ад и ав: (ад * ав) = 0 * 4 + 2 * 4 + 1 * (-2) = 0 + 8 - 2 = 6
Теперь можем найти проекцию: проекция = 6 / 6 = 1
4) Чтобы найти площадь грани авс, мы можем использовать формулу для площади треугольника: площадь = (1/2) * |ав x ас|, где |ав x ас| - модуль векторного произведения векторов ав и ас.
Сначала найдем векторное произведение векторов ав и ас:
ав x ас = |i, j, k|
|4, 4, -2|
|2, 11, -10|
= i * (4 * (-10) - (-2) * 11) - j * (4 * (-10) - 2 * (-10)) + k * (4 * 11 - 2 * 2)
= i * (-40 + 22) - j * (-40 + 20) + k * (44 - 4)
= i * (-18) - j * (-20) + k * 40
= (-18, 20, 40)
Теперь можем найти модуль векторного произведения: |ав x ас| = √((-18)^2 + 20^2 + 40^2) = √(324 + 400 + 1600) = √2324 ≈ 48.20
Теперь можем найти площадь грани: площадь = (1/2) * 48.20 ≈ 24.10
5) Чтобы найти объём пирамиды, мы можем использовать формулу: объём = (1/6) * |(ав * ад) * ас|, где (ав * ад) - скалярное произведение векторов ав и ад.
Сначала найдем скалярное произведение векторов ав и ад: (ав * ад) = 4 * 0 + 4 * 2 + (-2) * 1 = 0 + 8 - 2 = 6
Теперь можем найти объем: объем = (1/6) * (6 * 15) ≈ 15
Ответы:
1) Векторы ав, ас, ад в системе орт: ав = (4, 4, -2), ас = (2, 11, -10), ад = (0, 2, 1). Модули векторов: |ав| = 6, |ас| = 15, |ад| = √5.
2) Угол между векторами ав и ас: θ ≈ 37.39°.
3) Проекция вектора ад на вектор ав: проекция = 1.
4) Площадь грани авс: площадь ≈ 24.10.
5) Объем пирамиды авсд: объем ≈ 15.