Если на АВ, как на диаметре, построить окружность, с центром в К, то точки М и Н будут лежать на ней (ВМ перпеендикулярно АМ, и АН перпендикулярно ВН). Нам задана площадь треугольника МНК = 25. Легко видеть, что треугольник равнобедренный, и стороны его равны половине АВ (как много можно узнать, просто проведя циркулем по плоскости:)).
Нам осталось найти угол между КН и КМ.
Но угол АКМ = 2*(угол АВМ); (это центральный и вписанный углы, опирающиеся на одну и ту же дугу АМ), аналогично угол ВКН = 2*(угол ВАН);
угол ВАН + угол АВМ = 180 - 105 = 75 градусов. Поэтому
угол АКМ + угол ВКН = 150 градусов.
угол МКН = 180 - 150 = 30 градусов.
Если АВ/2 = х, то
25 = х^2*sin(30)/2; x^2 = 100; x = 10; AB = 20;
Пусть все количество значков х шт.
У Вари х:2 шт.
У Бори (х:2)-27 шт.
У Алены 3(х/2-27) шт.
Составим уравнение:
1)3(х/2-27)+х/2-27+х/2=х
5х-2х=108*2
3х=216
х=72 (шт.) - всего значков;
2) 72:2=36 (шт.) - значков у Вари.
ответ: у Вари было в коллекции 36 значков.