Question

Из урны, содержащей 4 белых и 4 чёрных шара, извлекают я без возвращения шары до появления белого шара. случайная вероятность x-число вынутых их урны шаров. построить ряд распределения, много угольник распределения, найти функцию распределения и построить её график. вычислить числовые характеристики: ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.

Answer 1

Случайная величина X — число вынутых шаров из урны.

Испытание может быть проведено только один раз, если белый шар появится сразу:

$P\{X=1\}=\dfrac{4}{8}=\dfrac{1}{2}=0{,}5$

Если же в первый раз белый шар не появился, а появился при втором извлечении, то его вероятность

$P\{X=2\}=\dfrac{4}{8}\cdot \dfrac{4}{7}\approx0{,}286$

Аналогично, если же при первых двух извлечений не появился белый шар, а появился при третьем извлечении, то вероятность такого события

$P\{X=3\}=\dfrac{4}{8}\cdot\dfrac{3}{7}\cdot\dfrac{4}{6}\approx 0{,}143$

Белый шар появился при четвертом извлечении:

$P\{X=4\}=\dfrac{4}{8}\cdot \dfrac{3}{7}\cdot \dfrac{2}{6}\cdot \dfrac{4}{5}\approx0{,}057$

Белый шар появился при пятом извлечении:

$P\{X=5\}=\dfrac{4}{8}\cdot \dfrac{3}{7}\cdot \dfrac{2}{6}\cdot \dfrac{1}{5}\approx0{,}014$

Закон распределения случайной величины X:

Xi      1            2             3            4             5      

Pi     0,5      0,286      0,143     0,057       0,014

Математическое ожидание случайной величины X:

$MX=\displaystyle \sum_ix_ip_i=1\cdot 0{,}5+2\cdot 0{,}286+3\cdot0{,}143+4\cdot0{,}057+5\cdot 0{,}014=1{,}801$

Дисперсия случайной величины X:

$\displaystyle DX=MX^2-(MX)^2=\sum_ix_i^2p_i-(MX)^2=1^2\cdot 0{,}5+2^2\cdot 0{,}286+\\+3^2\cdot0{,}143+4^2\cdot0{,}057+5^2\cdot 0{,}014-1{,}801^2=0{,}959$

Среднее квадратическое отклонение:

$\sigma X=\sqrt{DX}=\sqrt{0{,}959}$