а) Давайте докажем справедливость тождества x & (y v z) = (x & y) v (x & z).
Для начала, разберемся с каждой частью этого тождества.
1. Часть x & (y v z) означает "x и (y или z)". Это значит, что x должно быть истинным, а y или z (или оба) также должны быть истинными, чтобы выражение было истинным.
2. Часть (x & y) v (x & z) означает "x и y, или x и z". Здесь x должно быть истинным, а y и z - другими значениями, которые могут быть истинными или ложными. Если хотя бы одна комбинация y и z дает истинное значение, то выражение будет истинным.
Давайте рассмотрим все возможные комбинации значений для x, y и z и проверим справедливость тождества:
1. Когда x = 0, y = 0 и z = 0:
левая сторона: 0 & (0 v 0) = 0 & 0 = 0
правая сторона: (0 & 0) v (0 & 0) = 0 v 0 = 0
Обе стороны равны 0, поэтому тождество выполняется для этой комбинации значений.
2. Когда x = 0, y = 0 и z = 1:
левая сторона: 0 & (0 v 1) = 0 & 1 = 0
правая сторона: (0 & 0) v (0 & 1) = 0 v 0 = 0
Обе стороны равны 0, поэтому тождество выполняется и для этой комбинации значений.
3. Когда x = 0, y = 1 и z = 0:
левая сторона: 0 & (1 v 0) = 0 & 1 = 0
правая сторона: (0 & 1) v (0 & 0) = 0 v 0 = 0
Тождество также выполняется.
4. Когда x = 0, y = 1 и z = 1:
левая сторона: 0 & (1 v 1) = 0 & 1 = 0
правая сторона: (0 & 1) v (0 & 1) = 0 v 0 = 0
Тождество выполняется для этой комбинации значений.
5. Когда x = 1, y = 0 и z = 0:
левая сторона: 1 & (0 v 0) = 1 & 0 = 0
правая сторона: (1 & 0) v (1 & 0) = 0 v 0 = 0
Обе стороны опять равны 0 и тождество выполняется.
6. Когда x = 1, y = 0 и z = 1:
левая сторона: 1 & (0 v 1) = 1 & 1 = 1
правая сторона: (1 & 0) v (1 & 1) = 0 v 1 = 1
Обе стороны равны 1 и тождество снова выполняется.
7. Когда x = 1, y = 1 и z = 0:
левая сторона: 1 & (1 v 0) = 1 & 1 = 1
правая сторона: (1 & 1) v (1 & 0) = 1 v 0 = 1
Тождество выполняется.
8. Когда x = 1, y = 1 и z = 1:
левая сторона: 1 & (1 v 1) = 1 & 1 = 1
правая сторона: (1 & 1) v (1 & 1) = 1 v 1 = 1
Обе стороны равны 1 и тождество выполняется для всех комбинаций значений.
Итак, мы проверили все возможные комбинации значений для x, y и z и убедились, что тождество x & (y v z) = (x & y) v (x & z) справедливо во всех случаях. Таким образом, тождество доказано.
б) Теперь рассмотрим тождество x v y = x & y.
Это тождество утверждает, что "x или y равно x и y". Давайте проверим его.
1. Когда x = 0 и y = 0:
левая сторона: 0 v 0 = 0
правая сторона: 0 & 0 = 0
Обе стороны равны 0, поэтому тождество выполняется для этой комбинации значений.
2. Когда x = 0 и y = 1:
левая сторона: 0 v 1 = 1
правая сторона: 0 & 1 = 0
Тождество не выполняется для этой комбинации значений.
3. Когда x = 1 и y = 0:
левая сторона: 1 v 0 = 1
правая сторона: 1 & 0 = 0
Опять же, тождество не выполняется для этой комбинации значений.
4. Когда x = 1 и y = 1:
левая сторона: 1 v 1 = 1
правая сторона: 1 & 1 = 1
Обе стороны равны 1 и тождество выполняется.
Таким образом, мы видим, что тождество x v y = x & y не выполняется для всех комбинаций значений. Поэтому, это тождество неверно.
