Чтобы найти предел последовательности (an), заданной формулой an = -2n, мы можем использовать определение предела и пошагово докажем, что предел равен минус бесконечности.
Определение предела гласит, что для каждого положительного числа M, существует натуральное число N, такое что, для всех n>N, выполняется an < M.
Мы хотим найти предел последовательности (an) = -2n, то есть найти значение n, при котором an стремится к минус бесконечности.
Давайте возьмем произвольное положительное число M и попытаемся ограничить выражение an = -2n снизу.
Если мы выберем M>0, то нам нужно найти такое натуральное число N, чтобы для всех n>N выполнялось -2n < M.
Давайте решим это неравенство:
-2n < M
Разделим обе части на -2, обратив при этом знак неравенства:
n > M/(-2)
n > -M/2
Таким образом, мы вывели неравенство n > -M/2.
Значит, если мы возьмем N, большее чем -M/2, то для всех n>N мы получим -2n < M.
Таким образом, предел последовательности (an) = -2n равен минус бесконечности.
Обоснование: Как мы видим, если мы возьмем любое положительное число M, мы можем найти натуральное число N (как минимум N будет больше, чем -M/2), такое что для всех n>N, an < M. Это означает, что последовательность (an) стремится к минус бесконечности.
Пошаговое решение:
1. Возьмите произвольное положительное число M.
2. Решите неравенство -2n < M, разделив обе части на -2 и обратив при этом знак неравенства.
3. Получите неравенство n > -M/2.
4. Возьмите натуральное число N, большее чем -M/2.
5. Обоснуйте, что для всех n>N выполняется an < M.
6. Заключите, что предел последовательности (an) = -2n равен минус бесконечности.
