Question

Докажите что функция f(x) есть первообразная для функции f(x), если: a) f(x)=x3/3-5x2/2+2x-13 и f(x)=х2-5x+2
б) f(x)=1/x2+5x+sin x+2 и f(x)=-2/x3+5+cosx (x≠0)

Answer 1

Хорошо, давайте решим оба варианта по очереди.

а) f(x) = x^3/3 - 5x^2/2 + 2x - 13 и f(x) = x^2 - 5x + 2

Для того чтобы доказать, что функция f(x) есть первообразная для функции f(x), мы должны показать, что f'(x) = f(x).

Для начала, найдем производную функции f(x):

f'(x) = (x^3/3 - 5x^2/2 + 2x - 13)' = (1/3)x^3 - (5/2)x^2 + 2

Теперь сравним результат с исходной функцией f(x) = x^2 - 5x + 2:

f'(x) = (1/3)x^3 - (5/2)x^2 + 2 = x^2 - 5x + 2

Как мы видим, производная функции f(x) равна исходной функции, что означает, что f(x) является первообразной для функции f(x) в данном случае.

б) f(x) = 1/x^2 + 5x + sin(x) + 2 и f(x) = -2/x^3 + 5 + cos(x) (x ≠ 0)

Аналогичным образом, мы должны показать, что f'(x) = f(x) для данной функции.

Найдем производную функции f(x):

f'(x) = (1/x^2 + 5x + sin(x) + 2)' = (-2/x^3 + cos(x))'

f'(x) = 6/x^4 - sin(x)

Теперь сравним результат с исходной функцией f(x) = -2/x^3 + 5 + cos(x):

f'(x) = 6/x^4 - sin(x) = -2/x^3 + 5 + cos(x)

Как мы видим, производная функции f(x) равна исходной функции, что означает, что f(x) является первообразной для функции f(x) в данном случае.

Таким образом, мы доказали, что функция f(x) является первообразной для функции f(x) в обоих случаях (а) и б)).