Question

Решить дифференциальное уравнение
y''-2y'+5y=-cosx

Answer 1

Для начала рассмотрим данное дифференциальное уравнение второго порядка:

y'' - 2y' + 5y = -cos(x)

Чтобы решить это уравнение, воспользуемся методом вариации постоянных. Предположим, что общее решение можно представить в виде:

y(x) = C1 * y1(x) + C2 * y2(x) + y particular(x),

где C1 и C2 - произвольные постоянные, y1(x) и y2(x) - две линейно независимые функции, а y particular(x) - частное решение заданного уравнения.

Для начала найдем общий вид комплементарного (однородного) уравнения:

y'' - 2y' + 5y = 0.

Его характеристическое уравнение имеет вид:

r^2 - 2r + 5 = 0.

Для решения этого квадратного уравнения воспользуемся квадратным уравнением r^2 + pr + q = 0, где p = -2, q = 5.

D = p^2 - 4q = (-2)^2 - 4*1*5 = 4 - 20 = -16.

Так как D < 0, то уравнение имеет два комплексных корня:

r1,2 = (-p ± √D) / 2 = (2 ± 4i) / 2 = 1 ± 2i.

Таким образом, общее решение комплементарного уравнения имеет вид:

y homogeneous(x) = e^(1x) * [C1 * cos(2x) + C2 * sin(2x)].

Теперь ищем частное решение частного уравнения. Уравнение имеет правую часть -cos(x), поэтому предположим его частное решение y particular(x) в виде:

y particular(x) = A * cos(x) + B * sin(x),

где A и B - некоторые коэффициенты, которые нужно найти.

Дифференцируя два раза данное предположение и подставляя результат в исходное уравнение, получим:

(-A - 2B) * cos(x) + (-B + 2A) * sin(x) - 2 * (-A * sin(x) + B * cos(x)) + 5 * (A * cos(x) + B * sin(x)) = -cos(x).

Сгруппируем слагаемые синусов и косинусов:

(-A - 2B + 5A) * cos(x) + (-B + 2A + 5B) * sin(x) = -cos(x).

Таким образом, получаем систему уравнений:

-A - 2B + 5A = -1,
-B + 2A + 5B = 0.

Ее можно решить методом подстановки или методом матриц.

Решим данную систему методом матриц:

| 4 -2 | | A | | -1 |
| 2 4 | | B | = | 0 |

Применяя формулу для нахождения коэффициентов А и В, получаем:

A = (-1*4 - (-2)*0) / (4*4 - 2*2) = -4 / 16 = -1/4,
B = (4*0 - 2*(-1)) / (4*4 - 2*2) = 2 / 16 = 1/8.

Таким образом, y particular(x) = (-1/4) * cos(x) + (1/8) * sin(x).

Итак, общее решение исходного уравнения имеет вид:

y(x) = C1 * e^x * cos(2x) + C2 * e^x * sin(2x) + (-1/4) * cos(x) + (1/8) * sin(x).

Вот и получился ответ на данное дифференциальное уравнение.