Хорошо, давайте подробно рассмотрим задачу.
Для того чтобы посчитать ln(5) с точностью 0.001, мы будем использовать разложение ln(x) в ряд Тейлора. Разложение ln(x) выглядит следующим образом:
ln(x) = (x - 1) - (1/2)(x - 1)^2 + (1/3)(x - 1)^3 - (1/4)(x - 1)^4 + ...
Сначала мы видим, что наш x равно 5. Поэтому мы будем использовать это значение.
Теперь мы будем проходить по строчкам разложения, пока не достигнем необходимой точности.
1. Первый член (x - 1):
ln(5) = (5 - 1) + ...
2. Второй член - (1/2)(x - 1)^2:
ln(5) = (5 - 1) - (1/2)(5 - 1)^2 + ...
У нас получается выражение: ln(5) = 4 - (1/2)(4)^2 + ...
3. Третий член - (1/3)(x - 1)^3:
ln(5) = 4 - (1/2)(4)^2 + (1/3)(5 - 1)^3 + ...
Выражение становится: ln(5) = 4 - (1/2)(4)^2 + (1/3)(4)^3 + ...
4. Четвертый член - (1/4)(x - 1)^4:
ln(5) = 4 - (1/2)(4)^2 + (1/3)(4)^3 - (1/4)(5 - 1)^4 + ...
И так далее...
Количество членов, которые мы берем в разложении, зависит от требуемой точности. Чтобы достичь точности 0.001, обычно достаточно взять достаточное количество членов до тех пор, пока модуль следующего члена не станет меньше требуемой точности.
Допустим, мы решили взять первые 5 членов в нашем разложении:
ln(5) ≈ 4 - (1/2)(4)^2 + (1/3)(4)^3 - (1/4)(5 - 1)^4 + (1/5)(5 - 1)^5
Вычислим это выражение:
ln(5) ≈ 4 - (1/2)(16) + (1/3)(64) - (1/4)(256) + (1/5)(256)
ln(5) ≈ 4 - 8 + (64/3) - (64) + (256/5)
ln(5) ≈ 1.386
Ответ: ln(5) ≈ 1.386 (с точностью до 0.001)
В этом примере мы использовали первые 5 членов разложения в ряд Тейлора для достижения требуемой точности. Если мы хотим получить более высокую точность, мы можем продолжить добавлять члены в разложение до тех пор, пока не достигнем необходимой точности.
Для того чтобы показать, что векторы x, y и z образуют базис, нам необходимо проверить две основные вещи:
1) Линейная независимость векторов x, y и z.
2) Векторы x, y и z охватывают всё пространство.
Для проверки линейной независимости, мы должны решить систему уравнений вида:
a*x + b*y + c*z = 0,
где a, b и c - произвольные числа, и проверить, что единственным решением системы является a = b = c = 0.
Составим данную систему уравнений:
8a + 4b + 3c = 0 (1)
2a + 6b - 2c = 0 (2)
3a + 10b + c = 0 (3)
Мы можем решить систему уравнений по правилу Крамера, где xi - определитель матрицы, полученной из замены i-ого столбца свободными членами (0, 0, 0), и определитель матрицы полученной из замены i-ого столбца коэффициентами перед xi (8, 2, 3; 4, 6, 10; 3, -2, 1).
Матрица Сramer:
| 8 4 3 |
| 2 6 -2 |
| 3 10 1 |
Определитель матрицы Сramer (D) равен:
D = 8*(6*1 - 10*(-2)) - 4*(2*1 - 10*3) + 3*(2*(-2) - 6*3) = 8*(6 + 20) - 4*(-16) + 3*(-18) = 216 + 64 - 54 = 226
Теперь вычислим определители матриц, полученных из замены столбцов коэффициентами перед соответствующим вектором x, y и z.
Dx = 0*(6*1 - 10*(-2)) - 0*(4*1 - 10*3) + 0*(4*(-2) - 6*3) = 0
Dy = 8*(0*1 - 0*(-2)) - 4*(0*1 - 0*3) + 3*(0*(-2) - 0*3) = 0
Dz = 8*(6*0 - 10*0) - 4*(2*0 - 10*0) + 3*(2*0 - 6*0) = 0
Теперь, проверим условие линейной независимости:
Если D ≠ 0, то система уравнений имеет только тривиальное решение (a = b = c = 0).
В нашем случае, D ≠ 0, поэтому система уравнений имеет только тривиальное решение. Проанализируйте вопрос Даны векторы x,y, и z=(z1,z2,z3). Показать, что они образуют базис, решая соответствующую систему уравнений.
Теперь проверим, что векторы x, y и z охватывают всё пространство. Для этого нам достаточно показать, что вектор с может быть выражен через них.
Снова составим систему уравнений:
8a + 4b + 3c = 7 (1)
2a + 6b - 2c = 4 (2)
3a + 10b + c = 11 (3)
Решим эту систему уравнений по правилу Крамера, подставив в матрицу Сramer столбец свободных членов (7, 4, 11).
Матрица Cramer:
| 8 4 3 |
| 2 6 -2 |
| 3 10 1 |
Вычислим определители матриц:
D = 8*(6*1 - 10*(-2)) - 4*(2*1 - 10*3) + 3*(2*(-2) - 6*3) = 8*(6 + 20) - 4*(-16) + 3*(-18) = 216 + 64 - 54 = 226
Dx = 7*(6*1 - 10*(-2)) - 4*(4*1 - 10*3) + 3*(4*(-2) - 6*3) = 7*(6 + 20) - 4*(4 - 30) + 3*(-8 - 18) = 406 - 104 - 78 = 224
Dy = 8*(4*1 - 10*3) - 7*(2*1 - 10*3) + 3*(2*(-2) - 6*4) = 8*(4 - 30) - 7*(2 - 30) + 3*(-4 - 24) = -208 - 196 - 84 = -488
Dz = 8*(6*1 - 10*3) - 4*(2*1 - 10*3) + 7*(2*(-2) - 6*4) = 8*(6 - 30) - 4*(2 -30) + 7*(-4 - 24) = -192 + 112 - 196 = -276
Теперь найдем решения системы:
a = Dx / D = 224 / 226 = 0.9912 ≈ 0.99
b = Dy / D = -488 / 226 = -2.1593 ≈ -2.16
c = Dz / D = -276 / 226 = -1.2212 ≈ -1.22
Таким образом, вектор с может быть выражен через базис из векторов x, y и z следующим образом:
с ≈ 0.99 * x - 2.16 * y - 1.22 * z, или в координатной форме:
с ≈ (0.99*8 - 2.16*4 - 1.22*3, 0.99*2 - 2.16*6 - 1.22*(-2), 0.99*3 - 2.16*10 - 1.22*1)
≈ (7.92 - 8.64 - 3.66, 1.98 - 12.96 + 2.44, 2.97 - 21.6 - 1.22)
≈ (-4.38, -8.54, -19.85).
Таким образом, мы показали, что векторы x, y и z образуют базис, и мы выразили вектор с через этот базис.
6 м/с
Пошаговое объяснение:
1км 500м = 1500м
4мин 10сек = 250сек
Тогда скорость:
1500 : 250 = 6
метров в секунду...