6) Из условия задачи вытекает, что заданная прямая при z = 0 лежит в плоскости Оху, а так как х = у, то она проходит через начало координат под углом 45 градусов как к оси Ох, так и к оси Оу.
Искомая же прямая должна быть к ней тоже под углом 45 градусов
то есть параллельно оси Ох или Оу.
Поэтому возможны 2 ответа.
(1) ось Oх имеет направляющий вектор i=(1,0,0). Таким образом, ищем уравнение прямой проходящей точку А(1; 3; 2) параллельно вектору i(1; 0; 0).
(х - 1)/1 = (y−3)/0=(z−2)/0.
ответ: (x−1)/1 = (y - 3)/0 = (z - 2)/0.
(2) ось Oу имеет направляющий вектор j=(0; 1; 0). Таким образом, ищем уравнение прямой проходящей точку А(1; 3; 2) параллельно вектору j=(0; 1; 0).
(х - 1)/0 = (y−3)/1 = (z−2)/0.
ответ: (x−1)/0 = (y - 3)/1 = (z - 2)/0.
Найдём точку А пересечения заданных прямой и плоскости.
Подставим в уравнение плоскости значения переменных.
2*(3 + 5t) - 2*(-1 + t) + 3*(4 + t) - 5 = 0.
6 + 10t + 2 - 2t + 12 + 3t - 5 = 0.
11t + 15 = 0.
t = -15/11.
Подставив в уравнение прямой, находим координаты точки А:
x(А) =3 + 5*(-15/11) = -42/11,
y(А) = -1 + (-15/11) = -26/11,
z(A) = 4 + (-15/11) = 29/11.
Теперь возьмём любую точку на заданной прямой и спроецируем её на плоскость с учётом того, что нормальный вектор плоскости является направляющим вектором перпендикуляра к плоскости.
Примем t = 2.
x(B) =3 + 5*2 = 13,
y(B) = -1 + 1*2 = 1,
z(B) = 4 + 1*2 = 6 .
Уравнение перпендикуляра ВВ1 к плоскости из точки В:
(x - 13)/2 = (y - 1)/(-2) = (z - 6)/3 = t.
x = 2t + 13,
y = -2t + 1,
z = 3t + 6.
Подставим в уравнение плоскости и получим координаты проекции точки В на заданную плоскость.
2*(13 + 2t) - 2*(1 - 2t) + 3*(6 + 3t) - 5 = 0.
26 + 4t - 2 + 4t + 18 + 9t - 5 = 0.
17t + 37 = 0.
t = -37/17.
Подставив в уравнение прямой, находим координаты точки В1:
x(В1) =3 + 5*(-37/17) = 147/17,
y(В1) = -1 + (-37/17) = 91/17,
z(В1) = 4 + (-37/17) = -9/17.
Теперь по двум точкам (А и В1) на заданной плоскости находим уравнение проекции прямой.
Вектор АВ1:
x(AB1) = (147/17) - (-42/11) = 2331/187.
y(АB1) = (91/17)) - (-26/11) = 1443/187.
z(AВ1) = (-9/17) - (29/11) = -592/187.
Уравнение АВ1:
(x - (-42/11))/(2331/187) = (y - (-26/11))/(1443/187) = (z - (29/11))/(-592/187).
ответ: уравнение проекции прямой на плоскость имеет вид
(x + (42/11))/(2331/187) = (y + (26/11))/(1443/187) = (z - (29/11))/(-592/187).
Решение методом Крамера на фото.
Стараюсь быть лучшим для вас)