Question

Найти наименьшее и наибольшее значения функции y=f(x) на отрезке [a; b] y=3x/(x^2+1) , [0; 5]

Answer 1

==============================

Пошаговое объяснение:

Answer 2

наименьшее = 0; наибольшее = 1.5

Пошаговое объяснение:

Найдем производную функции. Это можно сделать по определению через предел от приращения функции деленного на приращение аргумента при дельта x стремящемся к 0 или же по выведенным формулам.

Я сделаю сначала по определению:

$\lim\limits_{\Delta x\to 0} \frac{ \frac{3(x + \Delta x)}{ {(x + \Delta x)}^{2} + 1} - \frac{3x}{ {x}^{2} + 1 } }{\Delta x} = - \frac{ 3 {x}^{2} - 3}{ {x}^{4} + 2 {x}^{2} + 1 }$

Теперь по формулам:

$\frac{3 \times ( {x}^{2} + 1) - 3x \times 2x}{({x}^{2} + 1)^{2} } = - \frac{ 3 {x}^{2} - 3}{ {x}^{4} + 2 {x}^{2} + 1 }$

Как видишь вышло то же самое.

Теперь приравняем полученное к 0 и найдем критические точки:

$- \frac{ 3 {x}^{2} - 3}{ {x}^{4} + 2 {x}^{2} + 1 } = 0 \\ x = + - 1$

Для себя подставим точку меньше -1; от -1 до 1; больше 1 и получим, что функция возрастает на [-1; 1], а на остальных соответственно убывает.

Просчитаем значения функции в точках 0; 1; 5. При x=0, y=0; При x=1, y=1.5; При x=5, y=15/26. Тогда наименьшее значение функции на отрезке [0; 5] равно 0, а наибольшее 1.5