Сначала найдем точку минимума, для чего вычислим производную:
y’ = (2x3 − 3x2 − 12x + 1)’ = 6x2 − 6x − 12.
Найдем критические точки, решив уравнение y’ = 0. Получим стандартное квадратное уравнение:
y’ = 0 ⇒ 6x2 − 6x − 12 = 0 ⇒ ... ⇒ x1 = −1, x2 = 2.
Отметим эти точки на координатной прямой.
Теперь найдем минимальное значение функции на отрезке [−3; 3]. Оно достигается либо в точке минимума (тогда она становится точкой глобального минимума), либо на конце отрезка. Заметим, что на интервале (2; 3) производная всюду положительна, а значит y(3) > y(2), поэтому правый конец отрезка можно не рассматривать. Остались лишь точки x = −3 (левый конец отрезка) и x = 2 (точка минимума). Имеем:
y(−3) = 2(−3)3 − 3(−3)2 − 12(−3) + 1 = −44;
y(2) = 2*23 − 3*22 − 12*2 + 1 = −19.
Итак, наименьшее значение функции достигается на конце отрезка и равно −44.
ответ: xmin = 2; ymin = −44
Через 2 года он значится в документах как крестьянин, торгующий по свидетельству 3-го рода, и это положение сохранялось за ним почти 20 лет.
С 1865 года в документах он числится как крестьянин, торгующий по свидетельству купца 2-й гильдии. с 1868 года – как крестьянин, торгующий по свидетельству 1-й гильдии. В дореформенный период Прокопий Ефремович вместе с отцом вели обширную хлебную торговлю. Солидную прибыль им приносила продажа муки в Петербурге, а также в Нижнем Новгороде, Рыбинске и других поволжских городах. Попутно вывозили яйца, мёд, хмель, изделия местных кулеткачей, ввозили различные промышленные изделия и товары массового потребления: соль, сахар, чай, железные и скобяные изделия, платки, предметы украшения. Для их реализации в Чебоксарах открыли ряд лавок, магазинов и крупных складов.
Наиболее интенсивно торгово-промышленная деятельность Ефремовых разворачивается в пореформенные годы. Им принадлежала самая крупная по масштабам производства кулеткацкая мастерская в городе. В конце 60-х гг. 19 в. в этом заведении было занято 30 взрослых рабочих и 60 подростков, которые ежегодно изготовляли до 30 тыс. шт. кулей.
Ефремовы владели также 3 самыми мощными по тем временам в уезде и городе водяными и ветряными мельницами.
В 1869–71 гг. и 1881–86 гг. Прокопий Ефремович занимал должность директора Чебоксарского городского общественного банка, а также в разные годы являлся членом учётного комитета и членом правления банка. С 1875 года П.Е. Ефремов значится как чебоксарский купец 1-й гильдии, в 1890-е гг. именуется как чебоксарский купец без указания гильдейского признака и выступает одновременно в роли купца и промышленника.
В конце 19 – начале 20 вв. общий оборот торгово-промышленной деятельности Ефремовых составлял около 500 тыс. руб. в год. Самый большой приток капитала был от лесопильного завода, открытого в 1890 году братьями Прокопием и Михаилом (1823–94) в Чебоксарах. Строевой лес и лесоматериалы братья получали в Ветлужском уезде Костромской губернии, где у них имелось имение в селе Михайловицы общей площадью 56,7 тысяч десятин.
В октябре 1906 года основан торговый дом «П.Е. Ефремов с сыновьями» с общим капиталом в 325 тыс. руб. Распорядителем являлся старший сын Прокопия Николай, а дети Сергей и Фёдор – членами правления. Основной вид деятельности фирмы – торговля лесом и лесоматериалами в Чебоксарах и поволжских городах[1].