Question

Вурне 6 белых и 4 черных шара. из нее пять раз подряд извлекают шар, причем каждый раз вынутый шар возвращают обратно и шары перемешивают. приняв за случайную величину х число извлеченных белых шаров, составить закон распределения этой величины, определить ее ожидание и дисперсию.

Answer 1

Xi         0              1               2               3               4              5

Pi   0,01024    0,0768     0,2304     0,3456    0,2592    0,07776  

M[X]=3, D[X]=1,2.      

Пошаговое объяснение:

В данном случае испытанием является взятие шара, причём выбор любого шара равновероятен, а так как шар возвращается обратно, то эта вероятность не зависит от порядкового номера испытания, то есть остаётся постоянной. Отсюда следует, что наши испытания происходят по схеме "испытаний Бернулли", в которых событием является появление белого шара, а вероятность этого события при любом испытании p=6/(6+4)=6/10=0,6. Тогда вероятность непоявления белого шара при испытании q=1-p=0,4. Число извлечённых белых шаров может принимать значения от 0 до 5, найдём соответствующие вероятности по формуле Pk=C(n,k)*p^k*q^(n-k), где C(n,k) - число сочетаний из n по k:

P0=C(5,0)*0,6⁰*0,4⁵=0,01024

P1=C(5,1)*0,6¹*0,4⁴=0,0768;

P2=C(5,2)*0,6²*0,4³=0,2304;

P3=C(5,3)*0,6³*0,4²=0,3456;

P4=C(5,4)*0,6⁴*0,4¹=0,2592;

P5=C(5,5)*0,6⁵*0,4⁰=0,07776

Так как сумма вероятностей равна 1, то вероятности найдены верно. Составляем закон распределения:

Xi         0              1               2               3               4              5

Pi   0,01024    0,0768     0,2304     0,3456    0,2592    0,07776  

Математическое ожидание M[X]=∑Xi*Pi=0*0,01024+1*0,0768+2*0,2304+3*0,3456+4*0,2592+5*0,07776=3

Дисперсия D[X]=∑(Xi-M[X])²*Pi=(0-3)²*0,01024+(1-3)²*0,0768+(2-3)²*0,2304+(3-3)²*0,3456+(4-3)²*0,2592+(5-3)²*0,07776=1,2.