Question

Используя метод индукции, докажите, что для любого натурального числа n истины утверждения:

Answer 1

Используя метод математической индукции, докажите, что для любого натурального числа n истины утверждения:   $(6^{2n-1}+1)~~\vdots ~~7$

1) Базис индукции: n = 1

$6^{2\cdot 1-1}+1=6+1=7~~\vdots~~7$

2) Предположим что и при $n=k$ выражение $(6^{2k-1}+1)~~\vdots~~7$

3) Индукционный переход: n = k + 1.

$6^{2(k+1)-1}+1=6^{2k+2-1}+1=36\cdot 6^{2k-1}+1=36\cdot 6^{2k-1}+36-35=\\ \\ \\ =36\Big(6^{2k-1}+1\Big)-35$

Первое слагаемое делится на 7 по предположению (второй пункт), ну а второе слагаемое очевидно, что 35 : 7, значит и все выражение делится на 7. Следовательно, для всех натуральных n выражение $\Big(6^{2n-1}+1\Big)~~\vdots~~7$