В некоторых случаях формулы (4) для вычисления коэффициентов Фурье могут быть упрощены. Это имеет место для четных и нечетных функций. Следует учесть, что если f(x) – четная на промежутке [-a, a], то
если же f(x) – нечетная, то
.
Допустим теперь, что нужно разложить в ряд Фурье четную функцию f(x). На основании свойств четных и нечетных функций, а также формул (4), получили
(5)
Соответственно этому ряд Фурье для четной функции имеет вид:
. (6)
По аналогии для нечетной функции f(x) получим:
. (7)
Ряд Фурье для нечетной функции имеет вид:
. (8)
Таким образом, четная функция раскладывается в ряд только по косинусам, а нечетная функция – только по синусам кратных дуг.
Разложение в ряд Фурье функции с периодом 2l
Часто приходится раскладывать в тригонометрический ряд функции, период которых отличен от . Этот случай легко сводится к изученному ранее с замены переменной.
Для функции f(x), имеющей период 2l, коэффициенты Фурье вычисляются по формулам:
(9)
Ряд для функции f(x) имеет вид:
(10)
Пример 1.
Разложить в ряд Фурье функцию периода 2l=2, заданную на отрезке [-1;1] равенством
Решение. Найдем коэффициенты Фурье, используя формулы (9).
,
.
.
По формуле (10) записываем искомый рад Фурье:
.
Формулы (9) и (10) для коэффициентов Фурье и ряда Фурье четных и нечетных функций с периодом 2l преобразуются следующим образом.
Для четной функции:
, ,,
. (11)
Для нечетной функции:
, ,
. (12)
Разложение в ряд Фурье непериодических функций
Пусть f(x) – непериодическая функция, заданная на всей числовой оси. Если необходимо разложить её в ряд Фурье на промежутке [-l;l], то вводят вс функцию с периодом2l, значения которой совпадают со значениями f(x) на промежутке [0;l]. Если функция удовлетворяет условиям Дирихле, то её можно представить соответствующим рядом Фурье.
Иногда приходится иметь дело с функциями, заданными только на промежутке [0;l]. В этом случае мы можем сначала продолжить функцию на интервал (-l;0), а затем продолжить её на всю числовую ось периодически с периодом 2l. Чаще всего функцию продолжают четным или нечетным образом. Таким образом можно получить бесчисленное множество рядов Фурье для функции f(x), заданной на промежутке [0;l].
Пример 1.
Разложить в ряд по синусам функцию f(x)=1, заданную на промежутке (0;l].
Решение. Для разложения функции в ряд по синусам надо сначала её продолжить на промежуток [-1;0] нечетным образом, а затем полученную функцию продолжить периодически на всю числовую ось. Тогда график функции будет иметь вид:
Коэффициенты ряда вычисляются по формулам (12). Здесь надо принять l=1, f(x)=1. Тогда:
1) ▪Пусть - а сторона квадрата. ▪Найдем 30% от а - (0,3а) ▪Увеличим сторону квадрата на 30%: (а + 0,3а=1,3а) ▪Площадь квадрата: S(кв.) = а^2 ▪Площадь новового квадрата S= (1,3а)^2 = 1,69а^2 ▪S - S(кв.) = 1,69а^2 - а^2 = 0,69а^2 ▪что составляет 0,69 = 69% ▪ответ: Если сторону квадрата увеличить на 30%, тогда площадь увеличиться на 69%.
2) ▪Пусть - а сторона квадрата. ▪Найдем 10% от а - (0,1а) ▪Уменьшим сторону квадрата на 10%: (а - 0,1а=0,9а) ▪Площадь квадрата: S(кв.) = а^2 ▪Площадь уменьшенного квадрата S= (0,9а)^2 = 0,81а^2 ▪ S(кв.) - S = а^2 - 0,81а^2 = 0,19а^2 ▪что составляет: 0,19 = 19% ▪ответ: Если сторону квадрата уменьшить на 10%, тогда площадь уменьшиться на 19%.
1566. ▪Пусть а - длинна прямоугольника, b - ширина прямоугольника. ▪Найдем: 15% от а = 0,15а 20% от b = 0,2b ▪Если длинну уменьшить на 15%: а - 15% = а - 0,15а = 0,85а ▪Если ширину увеличить на 20%: b + 20% = b + 0,2b = 1,2b ▪Площадь прямоугольника: S(1) = аb ▪Площадь новового прямоугольника: S(2) = аb = 0,85а × 1,2b = 1,02ab ▪S(2) - S(1) = 1,02ab - ab = 0,02аb ▪что составляет 0,02 = 2% ответ: Площадь прямоугольника изменится на 2%
1. Пусть х - сторона исходного квадрата х² - его площадь, которая составляет 100% 30% + 100% = 130% 130% = 1,3 1,3х - новая сторона (1,3х)² = 1,69х² - новая площадь 1,69х² - х² = 0,69х² Т.к. х² составляет 100%, то подставив, получим: 0,69 ·100% = 69% ответ: на 69% увеличится 2. Пусть х - сторона исходного квадрата х² - его площадь, которая составляет 100% 100% -10% = 90% 90% = 0,9 0,9х - новая сторона (1,9х)² = 0,81х² - новая площадь х² - 0,81х² = 0,19х² Т.к. х² составляет 100%, то подставив, получим: 0,19 ·100% = 19% ответ: на 19% уменьшится
В некоторых случаях формулы (4) для вычисления коэффициентов Фурье могут быть упрощены. Это имеет место для четных и нечетных функций. Следует учесть, что если f(x) – четная на промежутке [-a, a], то
если же f(x) – нечетная, то
.
Допустим теперь, что нужно разложить в ряд Фурье четную функцию f(x). На основании свойств четных и нечетных функций, а также формул (4), получили
(5)
Соответственно этому ряд Фурье для четной функции имеет вид:
. (6)
По аналогии для нечетной функции f(x) получим:
. (7)
Ряд Фурье для нечетной функции имеет вид:
. (8)
Таким образом, четная функция раскладывается в ряд только по косинусам, а нечетная функция – только по синусам кратных дуг.
Разложение в ряд Фурье функции с периодом 2l
Часто приходится раскладывать в тригонометрический ряд функции, период которых отличен от . Этот случай легко сводится к изученному ранее с замены переменной.
Для функции f(x), имеющей период 2l, коэффициенты Фурье вычисляются по формулам:
(9)
Ряд для функции f(x) имеет вид:
(10)
Пример 1.
Разложить в ряд Фурье функцию периода 2l=2, заданную на отрезке [-1;1] равенством
Решение. Найдем коэффициенты Фурье, используя формулы (9).
,
.
.
По формуле (10) записываем искомый рад Фурье:
.
Формулы (9) и (10) для коэффициентов Фурье и ряда Фурье четных и нечетных функций с периодом 2l преобразуются следующим образом.
Для четной функции:
, ,,
. (11)
Для нечетной функции:
, ,
. (12)
Разложение в ряд Фурье непериодических функций
Пусть f(x) – непериодическая функция, заданная на всей числовой оси. Если необходимо разложить её в ряд Фурье на промежутке [-l;l], то вводят вс функцию с периодом2l, значения которой совпадают со значениями f(x) на промежутке [0;l]. Если функция удовлетворяет условиям Дирихле, то её можно представить соответствующим рядом Фурье.
Иногда приходится иметь дело с функциями, заданными только на промежутке [0;l]. В этом случае мы можем сначала продолжить функцию на интервал (-l;0), а затем продолжить её на всю числовую ось периодически с периодом 2l. Чаще всего функцию продолжают четным или нечетным образом. Таким образом можно получить бесчисленное множество рядов Фурье для функции f(x), заданной на промежутке [0;l].
Пример 1.
Разложить в ряд по синусам функцию f(x)=1, заданную на промежутке (0;l].
Решение. Для разложения функции в ряд по синусам надо сначала её продолжить на промежуток [-1;0] нечетным образом, а затем полученную функцию продолжить периодически на всю числовую ось. Тогда график функции будет иметь вид:
Коэффициенты ряда вычисляются по формулам (12). Здесь надо принять l=1, f(x)=1. Тогда:
.
Итак:
, …
Ряд Фурье для данной функции имеет вид:
.
Пошаговое объяснение: