Если m=1, то m является полным квадратом (
), поэтому этот случай можно не рассматривать.
Пусть m>1 не является полным квадратом, тогда в разложении m на простые множители (существование такого разложения гарантируется основной теоремой арифметики)
хотя бы один показатель является нечетным числом. Не теряя общности, можно предположить, что это 
По условию 
где a - целое число. Разделим это равенство на m:
Поскольку m+1 и na - целые числа, 
является целым числом, то есть 
делится на m, откуда делится на 
Отсюда следует, что n делится на 
следовательно делится на 
Теперь мы уже на финише. Из последнего рассуждения следует, что делится на 
na, естественно, делится на но (m+1) ну никак не может делиться на поскольку соседние натуральные числа взаимно просты (а m делится на 
).
Полученное противоречие доказывает, что m обязано быть полным квадратом.
Смотри решение во вложении