Question

Решите в целых числах
(a+1)(b+1)(a+b)=2020

Answer 1

(a + 1)(b + 1)(a + b) = 2020    ⇔    (b + 1)(a + 1)(b + a) = 2020

В уравнении не важно  a≥b   или   b≥a.

Так как решить нужно в целых числах, то без разложения на множители не обойтись.

2020 = 1 · 2 · 2 · 5 · 101

Легко проверить, что a и b  не могут принимать значения  0  и  ±1. Значит, |a|>1 , |b|>1  и наибольшим множителем будет

| a+b | = 101

Возможные варианты модулей множителей (без учёта знаков) :

2020 = 1 · 20 · 101 = 2 · 10 · 101 = 4 · 5 · 101

$\displaystyle 1) \left \{ {{ |a+1|=1} \atop {|b+1|=20}} \right.~~~~~\left \{ {{ a_1=-2;a_2=0} \atop {b_1=-21;b_2=19}} \right.\\\\~~~~~max |a+b|=|-2-21|=23$

Вывод : уравнение  (a + 1)(b + 1)(a + b) = 2020  не имеет решений в целых числах.

===========================================

Возможно, в условии опечатка

(a + 1)(b + 1)(a + b) = 20    ⇔    (b + 1)(a + 1)(b + a) = 20

В уравнении не важно  a≥b   или   b≥a.

20 = 1 · 2 · 2 · 5

Возможный порядок модулей множителей (без учёта знаков) :

20 = 1·2·10 = 1·4·5 = 2·2·5 = 1·5·4 = 1·10·2 = 4·5·1 = 2·10·1

$\displaystyle 1) \left \{ {{ |a+1|=1} \atop {|b+1|=2}} \right.~~~~~\left \{ {{ a_1=0;a_2=-2} \atop {b_1=1;b_2=-3}} \right.\\\\~~~~|a+b|=10~~~\Rightarrow~~~a,b\in\varnothing$

$\displaystyle 2) \left \{ {{ |a+1|=1} \atop {|b+1|=4}} \right.~~~~~\left \{ {{ a_1=0;a_2=-2} \atop {b_1=3;b_2=-5}} \right.\\\\~~~|a+b|=5;~~~a=0;~b=-5\\~~~(0+1)(-5+1)(0-5)=20~~~~~\Rightarrow~~~\boxed{\boldsymbol{(0;-5)}}$

$\displaystyle3) \left \{ {{ |a+1|=2} \atop {|b+1|=2}} \right.~~~~~\left \{ {{ a_1=1;a_2=-3} \atop {b_1=1;b_2=-3}} \right.\\\\~~~~|a+b|=5~~~\Rightarrow~~~a,b\in\varnothing$

$\displaystyle 4) \left \{ {{ |a+1|=1} \atop {|b+1|=5}} \right.~~~~~\left \{ {{ a_1=0;a_2=-2} \atop {b_1=4;b_2=-6}} \right.\\\\~~~~|a+b|=4;~~~a=0;~~b=4\\~~~(0+1)(4+1)(0+4)=20~~~\Rightarrow~~~\boxed{\boldsymbol{(0;4)}}$

$\displaystyle 5) \left \{ {{ |a+1|=1} \atop {|b+1|=10}} \right.~~~~~\left \{ {{ a_1=0;a_2=-2} \atop {b_1=9;b_2=-11}} \right.\\\\~~~~|a+b|=2~~~\Rightarrow~~~a,b\in\varnothing$

$\displaystyle 6) \left \{ {{ |a+1|=4} \atop {|b+1|=5}} \right.~~~~~\left \{ {{ a_1=3;a_2=-5} \atop {b_1=4;b_2=-6}} \right.\\\\~~~~|a+b|=1;~~~a=-5;~~b=4\\~~~(-5+1)(4+1)(-5+4)=20~~~\Rightarrow~~~\boxed{\boldsymbol{(-5;4)}}$

$\displaystyle7) \left \{ {{ |a+1|=2} \atop {|b+1|=10}} \right.~~~~~\left \{ {{ a_1=1;a_2=-3} \atop {b_1=9;b_2=-11}} \right.\\\\~~~~|a+b|=1~~~\Rightarrow~~~a,b\in\varnothing$

Вывод : уравнение  (a + 1)(b + 1)(a + b) = 20      имеет шесть решений в целых числах   (0;-5); (-5;0); (0;4); (4;0); (-5;4); (4;-5)