1) Сначала найдем остатки оснований при делении на 7. А) 222=210+12=7*30+7+5 - остаток 5. Б) 555=490+63+2=7*70+7*9+2 - остаток 2. 2) Теперь возводим эти остатки в степень. А) 222^555=5^555=(5^5)^111=3125^111=(2800+280+42+3)^111 Оно имеет такой же остаток при делении на 7, как 3^111. 3^111=(3^3)^37=27^37=(21+6)^37 =6^37=6^2*6^35=36*(6^5)^7= =(35+1)(36*216)^7=1*(35+1)^7*(210+6^7)=1*1^7*6^7=6^7= =36^3*6=(35+1)^3*6=1^3*6=6 Остаток 222^555 от деления на 7 равен 6. Б) 555^222=2^222=(2^6)^37=64^37=(63+1)^37=1^37=1. Остаток 555^222 от деления на 7 равен 1. 3) Складываем эти остатки. 6+1=7 Значит, остаток 222^555+555^222 от деления на 7 равен 7, то есть 0. Это число делится на 7 нацело.
№1. Объем работы (задание) = 1 целая 1) 1 : 28 = ¹/₂₈ (часть) задания за час выполнит I бригада 2) 1 : 21 = ¹/₂₁ (часть) задания за час выполнит II бригада 3) ¹/₂₈ + ¹/₂₁ = ³/₈₄ + ⁴/₈₄ = ⁷/₈₄ = ¹/₁₂ (часть) ответ: ¹/₁₂ часть задания выполнят две бригады за 1 час совместной работы.
№2. Бак = 1 1) 1 : 45 = ¹/₄₅ (часть) бака за час заполнит I труба 2) 1 : 36= ¹/₃₆ (часть) бака за час заполнит II труба 3) ¹/₄₅ + ¹/₃₆ = ⁴/₁₈₀ + ⁵/₁₈₀ = ⁹/₁₈₀= ¹/₂₀ (часть) бака за час заполнят обе трубы при совместной работе 4) 1 : ¹/₂₀ = 1 * (²⁰/₁) = 1*20 = 20 (минут) ответ: за 20 минут наполнится бак через обе трубы.
№3. Объем работы (задание) = 1 1)1 : 20 = ¹/₂₀ = 0,05 (часть) задания в день выполняет I бригада 2)1 : 25 = ¹/₂₅ = 0,04 (часть) задания в день выполняет II бригада 3) 0,05 + 0,04 = 0,09 (часть) задания в день выполнят обе бригады при совместной работе 4) 1 : 0,09 = 1 * (¹⁰⁰/₉) = 11 ¹/₉ (дн.) ответ : за 11 ¹/₉ дня выполнят задание бригады при совместной работе.
А) 222=210+12=7*30+7+5 - остаток 5.
Б) 555=490+63+2=7*70+7*9+2 - остаток 2.
2) Теперь возводим эти остатки в степень.
А) 222^555=5^555=(5^5)^111=3125^111=(2800+280+42+3)^111
Оно имеет такой же остаток при делении на 7, как 3^111.
3^111=(3^3)^37=27^37=(21+6)^37 =6^37=6^2*6^35=36*(6^5)^7=
=(35+1)(36*216)^7=1*(35+1)^7*(210+6^7)=1*1^7*6^7=6^7=
=36^3*6=(35+1)^3*6=1^3*6=6
Остаток 222^555 от деления на 7 равен 6.
Б) 555^222=2^222=(2^6)^37=64^37=(63+1)^37=1^37=1.
Остаток 555^222 от деления на 7 равен 1.
3) Складываем эти остатки.
6+1=7
Значит, остаток 222^555+555^222 от деления на 7 равен 7, то есть 0.
Это число делится на 7 нацело.