Question

Найти общее решение уравнения y''-4y'+20y=16xe^2x

Answer 1

$y''-4y'+20y=16xe^{2x}\\\\1)\; \; k^2-4k+20=0\; \; ,\; \; D/4=-16\; ,\; k_{1,2}=2\pm 4i\\\\y_{obsh.odnor.}=e^{2x}\cdot (C_1\, cos4x+C_2\, sin4x)$

2)  Найдем теперь частное решение лин. неоднородного дифференциального уравнения. Заметим, что  правая часть имеет вид   $f(x)=e^{\alpha x}\cdot ((Ax+B)\, cos\beta x+(Cx+D)\, sin\beta x)$  и комплексное число    $\alpha +\beta i=2+0\cdot i\ne 2+4i$  . Поэтому будем искать частное решение лин. неоднородного дифф.ур. в виде

$y_{1}=(Ax+B)\, e^{2x}\\\\y_1'=Ae^{2x}+2(Ax+B)e^{2x}=(2Ax+A+2B)\, e^{2x}\\\\y_1''=2A\, e^{2x}+2\, (2Ax+A+2B)\, e^{2x}=(4Ax+4A+4B)\, e^{2x}\\\\\\y_1''-4y_1'+20y_1=20(Ax+B)e^{2x}-4(2Ax+A+2B)e^{2x}+(4Ax+4A+4B)e^{2x}\\\\16Ax+16B=16x\; \; \; \Rightarrow \; \; 16A=16\; \; ,\; \; 16B=0\\\\A=1\; \; ,\; \; B=0\\\\y_1=x\, e^{2x}\\\\3)\; \; y_{obsh.neodn.}=e^{2x}\cdot (C_1\, cos4x+C_2\, sin4x)+x\, e^{2x}$