Хорошо, давайте посмотрим на каждую из задач по отдельности и разберем их пошагово.
Задача 1:
У нас есть прямоугольный треугольник с одним из углов, равным 60 градусов, и гипотенузой, равной 6,4 см. Мы хотим найти меньший из двух катетов.
Для решения этой задачи мы можем использовать тригонометрический закон синусов. По этому закону отношение длины стороны к синусу противолежащего ей угла равно длине гипотенузы к синусу прямого угла.
Для этой задачи мы можем записать уравнение следующим образом:
катет / sin 60° = гипотенуза / sin 90°
Мы знаем, что sin 60° = √3/2 и sin 90° = 1. Подставив эти значения в уравнение, получим:
катет / (√3/2) = 6,4 / 1
Чтобы найти катет, мы можем переставить и переписать уравнение следующим образом:
катет = (6,4 / 1) * (√3/2)
Таким образом, меньший катет в прямоугольном треугольнике равен 3,2 * √3 см.
Задача 2:
У нас есть прямоугольный треугольник, где прямой угол направлен во внешний угол при вершине, равном 120 градусов. Также дано, что св + се = 12,3 см, и мы хотим найти длины сторон св и се.
Мы можем использовать две формулы для решения этой задачи: формулу синусов и формулу косинусов. В данном случае мы будем использовать формулу косинусов, так как у нас даны длины двух сторон и угол между ними.
Для этой задачи мы можем записать уравнения следующим образом:
св^2 = с^2 + в^2 - 2 * с * в * cos 120°,
се^2 = с^2 + в^2 - 2 * с * в * cos 90°.
Мы знаем, что cos 120° = -1/2 и cos 90° = 0. Подставив эти значения в уравнения, получим:
св^2 = с^2 + в^2 + с * в,
се^2 = с^2 + в^2.
Учитывая, что св + се = 12,3 см, мы можем записать следующее уравнение:
св + се = √(св^2 + се^2).
Теперь мы можем представить св и се через одно уравнение:
√(св^2 + се^2) = 12,3.
Возводя каждую сторону уравнения в квадрат и упрощая, получим:
св^2 + се^2 = (12,3)^2.
Теперь мы можем подставить соответствующие значения:
св^2 + се^2 = 151,29.
Так как у нас есть еще два уравнения для св и се, мы можем исключить одну переменную, чтобы найти другую. Допустим, мы исключим св.
Мы можем переписать уравнение св^2 + се^2 = 151,29 в виде:
св = √(151,29 - се^2).
Теперь подставим это выражение в уравнение св + се = 12,3 и решим полученное уравнение:
√(151,29 - се^2) + се = 12,3.
Возводим это уравнение в квадрат и упрощаем:
151,29 - се^2 + 2 * √(151,29 - се^2) * се + се^2 = 151,29.
Нам известно, что в этом уравнении се ≠ 0. Значит, мы можем разделить обе части уравнения на 2 * √(151,29 - се^2):
се = 0.
Таким образом, мы получаем, что се = 0. Однако эта ситуация противоречит условию задачи и не имеет смысла с точки зрения геометрии. Значит, такого решения не существует.
Эти шаги помогут школьнику решить задачи на свойства прямоугольного треугольника. Они содержат подробные объяснения и пошаговые решения, чтобы ученик мог легко понять процесс решения.
Хорошо! Для доказательства того, что последовательность n^3-8n ограничена снизу, мы можем использовать метод математической индукции.
1. Базовый шаг: Проверим, что утверждение выполняется для n=1. Подставим n=1 в выражение n^3-8n и получим: 1^3-8*1 = 1-8 = -7. Таким образом, значение последовательности при n=1 равно -7.
2. Предположение: Предположим, что для произвольного значения k последовательность n^3-8n ограничена снизу.
3. Индукционный шаг: Докажем, что утверждение выполнено и для n=k+1.
Таким образом, мы получили выражение для последовательности n^3-8n при n=k+1.
4. Далее мы видим, что n^3-8n = k^3 + 3k^2 - 5k - 7.
Воспользуемся предположением и ограничим это выражение снизу, заменив k^3 + 3k^2 - 5k на некоторое число M, которое является нижней границей для последовательности при n=k.
Таким образом, n^3-8n >= M - 7.
5. Теперь мы хотим найти такое число N, при котором n^3-8n >= M - 7 выполнено для всех n >= N.
Давайте рассмотрим следующее выражение: n^3-8n = n^2(n-8).
Заметим, что для достаточно больших значений n выражение n^2(n-8) будет положительным, поскольку n^2 ≥ 0 и n-8 ≥ 0 при n ≥ 8.
Таким образом, при n ≥ 8, значения последовательности n^3-8n будут неотрицательными и больше или равными 0, то есть ограничены снизу числом 0.
6. Таким образом, мы можем выбрать N=8. Для всех n ≥ 8, значение последовательности n^3-8n будет больше или равно 0.
Отсюда следует, что последовательность n^3-8n ограничена снизу числом 0.
Вот и все, мы доказали, что последовательность n^3-8n ограничена снизу числом 0.
Задача 1:
У нас есть прямоугольный треугольник с одним из углов, равным 60 градусов, и гипотенузой, равной 6,4 см. Мы хотим найти меньший из двух катетов.
Для решения этой задачи мы можем использовать тригонометрический закон синусов. По этому закону отношение длины стороны к синусу противолежащего ей угла равно длине гипотенузы к синусу прямого угла.
Для этой задачи мы можем записать уравнение следующим образом:
катет / sin 60° = гипотенуза / sin 90°
Мы знаем, что sin 60° = √3/2 и sin 90° = 1. Подставив эти значения в уравнение, получим:
катет / (√3/2) = 6,4 / 1
Чтобы найти катет, мы можем переставить и переписать уравнение следующим образом:
катет = (6,4 / 1) * (√3/2)
Вычислим это выражение:
катет = (6,4 * √3) / 2
катет = 3,2 * √3
Таким образом, меньший катет в прямоугольном треугольнике равен 3,2 * √3 см.
Задача 2:
У нас есть прямоугольный треугольник, где прямой угол направлен во внешний угол при вершине, равном 120 градусов. Также дано, что св + се = 12,3 см, и мы хотим найти длины сторон св и се.
Мы можем использовать две формулы для решения этой задачи: формулу синусов и формулу косинусов. В данном случае мы будем использовать формулу косинусов, так как у нас даны длины двух сторон и угол между ними.
Для этой задачи мы можем записать уравнения следующим образом:
св^2 = с^2 + в^2 - 2 * с * в * cos 120°,
се^2 = с^2 + в^2 - 2 * с * в * cos 90°.
Мы знаем, что cos 120° = -1/2 и cos 90° = 0. Подставив эти значения в уравнения, получим:
св^2 = с^2 + в^2 + с * в,
се^2 = с^2 + в^2.
Учитывая, что св + се = 12,3 см, мы можем записать следующее уравнение:
св + се = √(св^2 + се^2).
Теперь мы можем представить св и се через одно уравнение:
√(св^2 + се^2) = 12,3.
Возводя каждую сторону уравнения в квадрат и упрощая, получим:
св^2 + се^2 = (12,3)^2.
Теперь мы можем подставить соответствующие значения:
св^2 + се^2 = 151,29.
Так как у нас есть еще два уравнения для св и се, мы можем исключить одну переменную, чтобы найти другую. Допустим, мы исключим св.
Мы можем переписать уравнение св^2 + се^2 = 151,29 в виде:
св = √(151,29 - се^2).
Теперь подставим это выражение в уравнение св + се = 12,3 и решим полученное уравнение:
√(151,29 - се^2) + се = 12,3.
Возводим это уравнение в квадрат и упрощаем:
151,29 - се^2 + 2 * √(151,29 - се^2) * се + се^2 = 151,29.
Упрощаем уравнение:
2 * √(151,29 - се^2) * се = 0.
Нам известно, что в этом уравнении се ≠ 0. Значит, мы можем разделить обе части уравнения на 2 * √(151,29 - се^2):
се = 0.
Таким образом, мы получаем, что се = 0. Однако эта ситуация противоречит условию задачи и не имеет смысла с точки зрения геометрии. Значит, такого решения не существует.
Эти шаги помогут школьнику решить задачи на свойства прямоугольного треугольника. Они содержат подробные объяснения и пошаговые решения, чтобы ученик мог легко понять процесс решения.