Question

Решите еще и подсказка большая есть для

само :

клетчатая доска 9×9 покрашена в шахматную раскраску (то есть доска покрашена в чёрный и белый цвета; любые две клетки, соседние по

стороне, имеют разный цвет). требуется поставить 8 белых ладей так,

чтобы все они стояли на клетках одного цвета и никакие две из них

не били друг друга (одна ладья бьёт другую, если она стоит с ней в

одной вертикали или горизонтали). сколькими это можно

сделать? расстановки, отличающиеся друг от друга поворотами, симметриями и пр. считаются различными

подсказка для него:

пусть угловые клетки - белые.

1) ладьи на белых клетках.

удаляем одну из 9 горизонталей, где ладьи не будет. поскольку горизонтали различаются, выделим два случая, в зависимости от первой клетки горизонтали: а) белая, б) чёрная.

далее проходим по белым горизонталям, выбирая место для ладей: на первой из белых горизонталей - 5 мест, затем - 4 места и т. д. аналогично поступаем с чёрными горизонталями.

2) ладьи на чёрных клетках.

аналогично. частично можно свести к предыдущему пункту.

пробовал решать :

для первой ладьи - 8 вариантов, для второй - 7 вариантов и т. д. в итоге 8!

еще раз пересчитал. число расстановок 8-ми ладей на одноцветных полях равно 9*5! *4! +5*5! *4! =14*5! *4! =8! (первое слагаемое отвечает за цвет, с цветом угловых клеток, второе - за другой цвет)

потом у меня получилось посчитать это по-другому убрать 1 лишнюю горизонталь убрать лишнюю вертикаль (т.к. ладей 8, то на поле 9*9 всегда такие лишние найдутся) * кол-во расставить их по чёрным и по белым клеткам (т.е. 4! + получим позже исправил : 9*9 * (4! *4! + 4! *4! ) = 93 312(по белым на поле 8*8 кол-во аналогично для чёрных)

я уже запутался со всем этими расчетами ,

Answer 1

40320

Пошаговое объяснение:

У меня угловые клетки черные, это, конечно, ни на что не влияет. Рассматриваем два варианта - на черных клетках стоят ладьи или на белых. Потом результаты сложим и получим ответ.

1. Белые клетки

Если внимательно посмотреть на доску, белые клетки делятся на две независимые (с точки зрения хода ладьи) группы, помеченные у меня цифрами 3 и 4. Я перерисую их отдельно, получатся прямоугольники 4x5 и 5x4. Поскольку в каждый прямоугольник можно поставить не более четырех не бьющих друг друга ладей (в первом случае есть только 4 столбца, во втором - 4 строки), то в каждый прямоугольник нужно поставить ровно 4 ладьи, притом, очевидно, количество допустимых расстановок в прямоугольнике 4x5 и 5x4 совпадает.

Считаем количество расстановок в прямоугольнике 4x5. В первую горизонталь можно поставить ладью пятью во вторую четырьмя, в третью тремя, во вторую двумя. Всего расставить 4 не бьющие друг друга ладьи в прямоугольник 4x5 оказывается $5\cdot4\cdot3\cdot2=120$.

Во второй белый прямоугольник можно расставить 4 не бьющие друг друга ладьи тоже расстановки выбираются независимо, так что всего расставить ладьи на белые клетки $120^2=14400$.

2. Чёрные клетки

Аналогично, есть два независимых квадрата 4x4 и 5x5. Тут есть две возможности: на большой квадрат поставить 5 ладей, на маленький 3; на большой 4, на маленький 4.

1) 5 + 3: в большой квадрат ладьи расставляются

Если в маленьком не ставить ладью на четвёртую горизонталь, будет а ту горизонталь, на которую будем не ставить ладью, можно выбрать Тогда на маленький квадрат есть $4\cdot24=96$ расстановок.

Всего для этой возможности есть $120\cdot96=11520$ вариантов.

2) 4 + 4: в маленький квадрат в большой $5\cdot5!=600$

Итого здесь $24\cdot600=14400$ вариантов.

Всего расставить ладьи на чёрные клетки, таким образом,

$11520+14400=25920$

Заметим, что это число можно было получить по-другому. 9 ладей можно поставить на эти квадраты $4!\cdot 5!=2880$ а потом, убирая каждую из 9 ладей, получаем те же $9\cdot4!\cdot5!=25920$ вариантов.