Question

Найдите наименьшее значение функции y=9+пи*√3–3x√3–6cosx на отрезке [0 ; пи/2]​

Answer 1

$y = 9 + \pi \sqrt{3} - 3x\sqrt{3} - 6\cos x$

$x \in \bigg[0; \ \dfrac{\pi}{2} \bigg]$

$y' = (9 + \pi \sqrt{3} - 3x\sqrt{3} - 6\cos x)' = 3\sqrt{3} + 6\sin x$

Найдем критические точки функции:

$3\sqrt{3} + 6\sin x = 0\\\\6\sin x = 3\sqrt{3}\\\\\sin x = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \\\\x = (-1)^{n} \arcsin \bigg(\dfrac{\sqrt{3}}{2} \bigg) + \pi n, \ n \in Z\\\\x = (-1)^{n} \cdot \dfrac{\pi}{3} + \pi n, \ n \in Z$

Как видим, таких критических точек - множество. Определим некоторые из них, которые принадлежат отрезку $\bigg[0; \ \dfrac{\pi}{2} \bigg]$. Для этого будем брать всевозможные целые значения $n:$

Пусть $n = 0$. Тогда $x = (-1)^{0} \cdot \dfrac{\pi}{3} + \pi \cdot 0 = \dfrac{\pi}{3} \in \bigg[0; \ \dfrac{\pi}{2} \bigg]$

Пусть $n = 1$. Тогда $x = (-1)^{1} \cdot \dfrac{\pi}{3} + \pi \cdot 1 = -\dfrac{\pi}{3} + \pi = \dfrac{2\pi}{3} \notin \bigg[0; \ \dfrac{\pi}{2} \bigg]$

Только одно значение $n$, при котором данные критические точки входят в промежуток $\bigg[0; \ \dfrac{\pi}{2} \bigg]$

Итак, только на одном из трех вариантов: $x = 0; \ x = \dfrac{\pi}{3}; \ x = \dfrac{\pi}{2}$ заданная функция может принимать наименьшее значение. Вычислим ее значение в этих трех точках, зная их абсциссы, и найдем наименьшее:

Если $x = 0$, то $y = 9 + \pi \sqrt{3} - 3\cdot 0 \cdot \sqrt{3} - 6\cos 0 = 9 + \pi \sqrt{3} - 6 = 3 + \pi \sqrt{3}$

Если $x = \dfrac{\pi}{3}$, то $y = 9 + \pi \sqrt{3} - 3\cdot \dfrac{\pi}{3} \cdot \sqrt{3} - 6\cos \dfrac{\pi}{3} = 9 + \pi \sqrt{3} - \pi \sqrt{3} - 3 = 6$

Если $x = \dfrac{\pi}{2}$, то $y = 9 + \pi \sqrt{3} - 3\cdot \dfrac{\pi}{2} \cdot \sqrt{3} - 6\cos \dfrac{\pi}{2} = 9 + \pi \sqrt{3} - \dfrac{3\pi \sqrt{3}}{2} - 0 = 9 - \dfrac{\pi \sqrt{3}}{2}$

Для того чтобы определить наименьшее из трех, можно подставить приблизительное значение числа $\pi$, а именно 3,14. Видим, что наименьшим значением функции является точка $\bigg(\dfrac{\pi}{3} ; \ 6 \bigg)$

ответ: $\underset{[0; \frac{\pi}{2} ] }{\min y} = y\bigg(\dfrac{\pi}{3} \bigg) = 6\\$