Question

Омогите
даны координаты точек а(1; 5; -1)в(2; 7; 1)с(-1; -1; 2), d(3; 3; 4) вычислить
1)координаты векторов ав и сd; 2ав+2сд
2) модули векторов ав и сд
3)скалярное произведение векторов ав и сd;
4)косинус угла между векторами ав и сd
5)проекцию вектора ав на направление вектора сд
6)направляющие косинусы векторов ав и сд
7)векторное произведение ав и сд
8)площадь треугольника построенного на векторах ав и сд
9)смешанное произведение ав сд д ,где д = i+2i+3k 10)объём пирамиды авсд

Answer 1

1) Для вычисления координат векторов, нужно вычислить разность координат точек:
аv = (2-1, 7-5, 1-(-1)) = (1, 2, 2)
сd = (3-(-1), 3-(-1), 4-2) = (4, 4, 2)

2) Модуль вектора можно вычислить по формуле:
|вектор| = √(x^2 + y^2 + z^2)

|ав| = √(1^2 + 2^2 + 2^2) = √(1 + 4 + 4) = √9 = 3
|сд| = √(4^2 + 4^2 + 2^2) = √(16 + 16 + 4) = √36 = 6

3) Скалярное произведение векторов можно вычислить по формуле:
ав * сд = (x1 * x2) + (y1 * y2) + (z1 * z2)

ав * сд = (1 * 4) + (2 * 4) + (2 * 2) = 4 + 8 + 4 = 16

4) Косинус угла между векторами можно найти с помощью формулы:
cosθ = (ав * сд) / (|ав| * |сд|)

cosθ = 16 / (3 * 6) = 16 / 18 = 8 / 9

5) Проекцию вектора ав на направление вектора сд можно найти по формуле:
проекция = (ав * сд) / |сд|

проекция = 16 / 6 = 8 / 3

6) Направляющие косинусы векторов можно найти по формулам:
cosα = x / |вектор|, cosβ = y / |вектор|, cosγ = z / |вектор|

cosα = 1 / 3, cosβ = 2 / 3, cosγ = 2 / 3 для ав
cosα = 4 / 6 = 2 / 3, cosβ = 4 / 6 = 2 / 3, cosγ = 2 / 6 = 1 / 3 для сд

7) Векторное произведение двух векторов можно вычислить по формуле:
ав х сд = (y1 * z2 - z1 * y2, z1 * x2 - x1 * z2, x1 * y2 - y1 * x2)

ав х сд = (2 * 2 - 2 * 4, 2 * 4 - 1 * 2, 1 * 4 - 2 * 4) = (-4, 6, -4)

8) Площадь треугольника, построенного на векторах, можно вычислить по формуле:
площадь = 1/2 * |ав х сд|

площадь = 1/2 * √((-4)^2 + 6^2 + (-4)^2) = 1/2 * √(16 + 36 + 16) = 1/2 * √68 = 1/2 * 2√17 = √17

9) Смешанное произведение векторов можно найти по формуле:
ав * сд * д = (x1 * y2 * z3 + y1 * z2 * x3 + z1 * x2 * y3) - (z1 * y2 * x3 + x1 * z2 * y3 + y1 * x2 * z3)

д = (1, 2, 0) + 2(0, 1, 0) + 3(0, 0, 1) = (1, 4, 3)

ав * сд * д = (1 * 4 * 3 + 2 * 0 * 0 + 0 * 4 * 1) - (0 * 2 * 3 + 1 * 0 * 1 + 2 * 0 * 4) = 12 - 0 = 12

10) Объем пирамиды можно вычислить по формуле:
объем = 1/6 * (ав * сд * д)

объем = 1/6 * 12 = 2