Question

Умоляю,
найти общее и какое - нибудь базисное решение системы уравнений методов гассу с указанием ранга матрицы
5х1-11х2+4х3+х4=3
-3х1+х2+х4=-5
х1-5х2+2х3+х4=-1
2х1-3х2+х3=2

Answer 1

Пошаговое объяснение:

$\left(\begin{array}{ccccc}5&-1&4&1&|\; \; \; 3\\-3&1&0&1&|-5\\1&-5&2&1&|-1\\2&-3&1&0&|\; \; \; 2\end{array}\right)\sim 3str*3+2str;\; 3str*(-2)+4str;\\\\3str*(-5)+1str;\; 3str\longleftrightarrow 1str;\; \\\\\sim \left(\begin{array}{ccccc}1&-5&2&1&|-1\\0&-14&6&4&|-8\\0&14&-6&-4&|\; \; 8\\0&7&-3&-2&|\; \; 4\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccccc}1&-5&2&1&|-1\\0&7&-3&-2&|\; \; \; 4\end{array}\right)$

Базисные неизвестные: х₁ и х₂, свободные неизвестные: х₃ и х₄ ,так как

$\left|\begin{array}{cc}1&-5\\0&7\end{array}\right|=7\ne 0\; .$

Выразим базисные неизвестные через свободные.

$7x_2=4+3x_3+2x_4\; \; ,\; \; x_2=\frac{4}{7}+\frac{3}{7}\, x_3+\frac{2}{7}\, x_4\\\\x_1=-1+5x_-2-2x_3-x_4=-1+\frac{20}{7}+\frac{15}{7}x_3+\frac{10}{7}x_4-2x_3-x_4=\\\\=\frac{13}{7}+\frac{1}{7}\, x_3+\frac{3}{7}\, x_4\\\\X=\left(\begin{array}{c}\frac{13}{7}+\frac{1}{7}x_3+\frac{3}{7}x_4\\\frac{4}{7}+\frac{3}{7}x_3+\frac{2}{7}x_4\\x_3\\x_4\end{array}\right)$

Базисное решение системы получаем, если свободным неизвестным придадим нулевые значения. Базисное решение:

$X_{bazisnoe}=\left(\begin{array}{ccc}\frac{13}{7}\\\frac{4}{7}\\0\\0\end{array}\right)$

Answer 2

ответ, пошаговое объяснение во вложении:

Для простоты решения сменил порядок уравнений в системе, выбрав первым третье.