Question

Составьте уравнение прямой, которая параллельна прямой y = -2x +7 и проходит через центр окружности х2 + у2 – 8х +4у + 12 = 0.

Answer 1

y=-2x+6

Пошаговое объяснение:

приведем уравнение окружности к каноническому виду:

$({x}^{2} - 8x) + ({y}^{2} + 4y) + 12 = 0 \\ ( {x}^{2} - 2 \times 4x + 16) + ( {y}^{2} + 2 \times 2y + 4) - 16 - 4 + 12 = 0 \\ {(x - 4)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 8$

поэтому центр окружности точка (4;-2)

так как искомая прямая параллельна y=-2x+7

то наша прямая должна выглядеть в виде

y=-2x+b

найдем b:

$- 2 = - 2 \times 4 + b \\ b = - 2 + 8 = 6$

поэтому искомая прямая

y=-2x+6

Answer 2

$2x + y - 6 = 0$

Answer 3

Для составления уравнения прямой, которая параллельна заданной прямой и проходит через центр окружности, нам понадобятся несколько шагов.

Шаг 1: Найдите коэффициенты уравнения прямой, параллельной данной.
Поскольку заданная прямая имеет уравнение y = -2x + 7, мы знаем, что коэффициент при x равен -2. Поскольку параллельные прямые имеют одинаковый наклон, коэффициент при x в уравнении искомой прямой также будет равен -2. Таким образом, у нас уже есть часть уравнения: y = -2x + c, где c - это неизвестная константа.

Шаг 2: Найдите константу c, используя информацию о центре окружности.
Уравнение окружности имеет вид x^2 + y^2 - 8x + 4y + 12 = 0. Для того чтобы найти центр окружности, нужно привести уравнение к каноническому виду (x – h)^2 + (y – k)^2 = r^2, где (h, k) - это координаты центра окружности, а r - радиус окружности.

Начнем с приведения уравнения окружности к каноническому виду. Для этого нужно завершить квадраты при x и y. Перенесем все константы на правую сторону уравнения:

x^2 - 8x + y^2 + 4y = -12.

Заметим, что выражение -12 можно разложить как сумму (-2)^2 + (-2)^2:

x^2 - 8x + 16 + y^2 + 4y + 4 = -12 + 16 + 4,

Теперь посмотрим на выражение x^2 - 8x + 16. Оно является квадратом (x - 4)^2. Аналогично, выражение y^2 + 4y + 4 можно записать как (y + 2)^2:

(x - 4)^2 + (y + 2)^2 = 8.

Мы получили уравнение окружности в каноническом виде, где центр окружности находится в точке (4, -2), а её радиус равен √8.

Шаг 3: Найдите точку, через которую проходит искомая прямая.
Поскольку прямая проходит через центр окружности (4, -2), мы можем использовать эти координаты в уравнении прямой для нахождения константы c.
Подставляем x = 4 и y = -2 в уравнение y = -2x + c:

-2 = -2*4 + c.

Выражаем c:

-2 = -8 + c,
c = -2 + 8,
c = 6.

Шаг 4: Составьте окончательное уравнение прямой.
Теперь, когда мы знаем значение константы c (c = 6), мы можем составить окончательное уравнение искомой прямой:

y = -2x + 6.

Итак, уравнение прямой, параллельной прямой y = -2x + 7 и проходящей через центр окружности x^2 + y^2 - 8x + 4y + 12 = 0, будет иметь вид y = -2x + 6.