Question

Решить неравенство ((log(16,4x^2)-log(sqrt(2*x),x/2))/(4log(16,1-x/3)+1)> log(2-2/3*x,x))

Answer 1

Поехали:

Как обычно, начинаем с ОДЗ:

х > 0

х ≠ 0,5

х < 3

х ≠ 3/2

Таким образом наша ОДЗ:

(0;0,5) ∪(1/2; 3/2) ∪ (1,5;3)

Идем к уравнению. Приводим все к основанию 2:

$\frac{\frac{log(2)[4x^{2}] }{log(2)[16]}-\frac{log(2)[\frac{x}{2} }{log(2)[(2x)^{\frac{1}{2} }] } }{\frac{4log(2)[1-\frac{x}{3}] }{log(2)[16]}+1 }\frac{log(2)[x]}{log(2)[2-\frac{2}{3}x] }$

Переносим всё в одну сторону, ищем общий знаменатель, производим действия типа log(2)[16] = 4:

$\frac{\frac{1+log(2)[x]}{2}-\frac{2(log(2)[x-1])}{log(2)[x]+1}-log(2)[x] }{log(2)[1-\frac{x}{3}]+1 }0$

$\frac{1-log(2)[x]}{log(2)[1-\frac{x}{3}]+1 }(\frac{1}{2}+\frac{2}{log(2)[x]+1}) 0$

$\frac{(1-log(2)[x])(log(2)[x]+5)}{(log(2)[x]+1)(log(2)[1-\frac{x}{3}] +1)} 0$

$\frac{(log(2)[x]-1)(log(2)[x]+5)}{(log(2)[x]+1)(log(2)[1-\frac{x}{3}] +1)} < 0$

Методом интервалов:

        -                      +                  -                +                 -

___________₀________₀________₀________₀_________

                     1/32             1/2             3/2               2

///////////////////                       ///////////////                     ////////////////////

( - ∞ 1/32) ∪ (1/2; 3/2) ∪ (2; + ∞)

Подводим к нашему ОДЗ:

         /////////////////////////////////////////////////////////////////////////////                                                                        

____₀_______₀________₀________₀________₀______₀__________

       0              1/32             1/2             3/2               2             3

///////////////////                       ///////////////                     ////////////////////

Таким образом получаем:

х ∈ (0; 1/32) ∪ (1/2 ; 3/2) ∪ (2 ; 3)

ответ: х ∈ (0; 1/32) ∪ (1/2 ; 3/2) ∪ (2 ; 3)