Question

Вычислить производную второго порядка

Answer 1

$y = \dfrac{x^{2} - 1}{x^{2} + 1}$

Найдем первую производную (производную первого порядка):

$y' = \left(\dfrac{x^{2} - 1}{x^{2} + 1} \right)' = \dfrac{(x^{2} - 1)'(x^{2} + 1) - (x^{2} + 1)' (x^{2} - 1)}{(x^{2} + 1)^{2}} =\\= \dfrac{2x(x^{2} + 1) - 2x(x^{2} - 1)}{(x^{2} + 1)^{2}} = \dfrac{2x(x^{2} + 1 - x^{2} + 1)}{(x^{2} + 1)^{2}} = \dfrac{4x}{(x^{2} + 1)^{2}}$

Производная второго порядка (вторая производная) есть первая производная от производной первого порядка, то есть $y'' = (y')'.$

Найдем вторую производную (производную второго порядка):

$y'' = \left(\dfrac{4x}{(x^{2} + 1)^{2}} \right)' = \dfrac{(4x)'(x^{2} + 1)^{2} - ((x^{2} + 1)^{2})'4x}{(x^{2} + 1)^{4}} =\\= \dfrac{4(x^{2} + 1)^{2} - 16x^{2}(x^{2} + 1)}{(x^{2} + 1)^{4}} = \dfrac{4(x^{2}+1)(1 - 3x^{2})}{(x^{2} + 1)^{4}} = \dfrac{4 - 12x^{2}}{(x^{2} + 1)^{3}}$