Question

(tga+√3)(tgb+√3)=4
вычислите 9*((a+b)/pi)^2

Answer 1

Дано: $(\text{tg} \ \alpha + \sqrt{3})(\text{tg} \ \beta + \sqrt{3}) = 4, \ \alpha \neq \dfrac{\pi}{2} + \pi n, \ n \in Z; \ \beta \neq \dfrac{\pi}{2} + \pi n, \ n \in Z$

Найти: $9 \cdot \left(\dfrac{\alpha + \beta }{\pi} \right)^{2}$

Решение. Наименьшим положительным периодом функций $\text{tg} \ \alpha$ и $\text{tg} \ \beta$ является $\pi$. Решим уравнение $(\text{tg} \ \alpha + \sqrt{3})(\text{tg} \ \beta + \sqrt{3}) = 4$ на отрезке длиной $\pi$.

$(\text{tg} \ \alpha + \sqrt{3})(\text{tg} \ \beta + \sqrt{3}) = 4$

$\text{tg} \ \alpha \ \text{tg} \ \beta + \sqrt{3}(\text{tg} \ \alpha + \text{tg} \ \beta ) + 3 = 4$

$\dfrac{\sin \alpha }{\cos \alpha } \cdot \dfrac{\sin \beta }{\cos \beta } + \dfrac{\sqrt{3}\sin (\alpha + \beta )}{\cos \alpha \cos \beta }= 1$

$\dfrac{\sin \alpha \sin \beta + \sqrt{3}\sin (\alpha + \beta )}{\cos\alpha \cos \beta } =1$

$\sin \alpha \sin \beta +\sqrt{3}\sin (\alpha + \beta ) - \cos \alpha \cos \beta = 0$

$\cos (\alpha + \beta ) + \sqrt{3}\sin (\alpha + \beta ) = 0 \ \ \ | : 2$

$\dfrac{1}{2} \cos (\alpha + \beta ) + \dfrac{\sqrt{3}}{2} \sin (\alpha + \beta ) = 0$

$\sin \dfrac{\pi}{6} \cos (\alpha + \beta ) + \cos \dfrac{\pi}{6} \sin (\alpha + \beta ) = 0$

$\sin \left(\dfrac{\pi}{6} + \alpha + \beta \right) = 0$

$\dfrac{\pi}{6} + \alpha + \beta = \pi$

$\alpha + \beta = \pi - \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{5\pi}{6}$

Таким образом, $9 \cdot \left(\dfrac{\alpha + \beta }{\pi} \right)^{2} = 9 \cdot \left(\dfrac{\dfrac{5\pi}{6} }{\pi} \right)^{2} = 9 \cdot \left(\dfrac{5}{6} \right)^{2} = 9 \cdot \dfrac{25}{36} = \dfrac{25}{4} = 6,25$

ответ: 6,25.