Чтобы вычислить вероятность того, что случайная величина X примет значение, заключенное в интервале (4;7), нужно рассчитать разницу функций распределения Ф(x) в точках 7 и 4.
Функция распределения Ф(x) для непрерывной случайной величины определяется как интеграл от плотности распределения по от -∞ до x. В данном случае, плотность распределения задана графически:
[image]
Чтобы вычислить Ф(x), нужно вычислить площадь под графиком плотности распределения на интервале от -∞ до x.
Исходя из графика, плотность распределения равна нулю до точки x=0. После этой точки, она возрастает линейно до x=2, затем остается постоянной на уровне 1/2 до x=5 и затем убывает линейно до нуля на интервале от x=5 до x=6. После этого интервала, плотность распределения снова равна нулю.
Перейдем к вычислению функции распределения Ф(x) в точках 7 и 4.
Для x ≤ 0 функция распределения Ф(x) равна нулю, так как плотность распределения на этом интервале равна нулю. Поэтому, Ф(0) = 0.
Для 0 ≤ x ≤ 2 функция распределения Ф(x) будет равна площади треугольника со сторонами x, h и h/2, где h - максимальное значение плотности распределения (в данном случае, h=1/2).
Таким образом, Ф(x) = (1/2) * (x * (h/2)) = (1/2) * (x * (1/4)) = x/8.
Для 2 ≤ x ≤ 5 функция распределения Ф(x) будет равна сумме площади треугольника из предыдущего интервала и прямоугольника с длиной x-2 и высотой h/2.
Площадь треугольника будет в данном случае равна 1/8, так как площадь треугольника с основанием 5-2=3 и высотой 1/2 равна (3 * (1/2)) / 2 = 3/4. Площадь прямоугольника будет (x-2) * (h/2) = (x-2) * (1/4).
Таким образом, Ф(x) = (1/8) + (x-2)/4 = (1 + (x-2))/8 = (x-1)/8.
Для 5 ≤ x ≤ 6 функция распределения Ф(x) будет равна сумме площади треугольника из предыдущего интервала, площади прямоугольника на интервале от 2 до 5 и площади треугольника на интервале от 5 до x.
Площадь треугольника на интервале от 5 до x будет равна (x-5) * (h/2) = (x-5) * (1/2).
Таким образом, Ф(x) = (1/8) + (3/4) + (x-5)/2 = (13 + (x-5))/8 = (x+8)/8.
Когда x > 6 функция распределения Ф(x) равна единице, так как плотность распределения в этом интервале равна нулю.
Теперь, чтобы вычислить вероятность P(4
Ответ: P(4
Поэтому, правильный ответ на вопрос "P(4 < X < 7) = Ф(1) - Ф(0,5)".
а) 5/9 и 7/18 = 10/18 и 7/18
б) 2/3 и 10/21 = 14/21 и 10/21
в) 5/7 и 3/4 = 20/28 и 21/28
г) 9/14 и 13/20 = 90/140 и 91/140