Question

Сколько натуральных чисел подряд, начиная с 1, надо взять, чтобы их сумма была трехзначным числом, состоящим из одинаковых цифр?

Answer 1

Используем формулу суммы первых n членов арифметической прогрессии:

$S_n=\frac{2a_1+(n-1)d}{2}\cdot n$

$a_1=1$; $d=1$

Формула принимает следующий вид:

$S_n=\frac{2\cdot1+(n-1)\cdot1}{2}\cdot n=\frac{2+n-1}{2}\cdot n=\frac{n+1}{2}\cdot n=\frac{n^2+n}{2}$

$n^2+n=2S_n$

$n^2+n-2S_n=0$

$D=1^2-4\cdot1\cdot(-2S_n)}=1+8S_n$

Дискриминант должен являться точным квадратом, так как искомое n - натуральное число.

Трёхзначные числа, состоящие из одинаковых цифр: 111, 222, 333, 444, 555, 666, 777, 888, 999

Выполняя подстановку в выражение $1+8S_n$, получаем, что подходит число 666: 1+8*666=5329, это точный квадрат 73.

$n^2+n-2\cdot 666=0$

$n^2+n-1332=0$

$n_1=\frac{-1+73}{2}=36$

$n_2=\frac{-1-73}{2}=-37<0$ (не подходит)

ответ: 36 чисел.