Question

2117. Дифференциальное уравнение решить
tds-2sdt=t³lntdt

Answer 1

$tds=(t^3lnt+2s)dt\\ \dfrac{1}{t^2}ds+\dfrac{-t^3lnt-2s}{t^3}dt=0\\ \left[(\dfrac{1}{t^2})'_t=(\dfrac{-t^3lnt-2s}{t^3})'_s\right]\\ u(s,t)=\int \dfrac{1}{t^2}ds=\dfrac{s}{t^2}+\phi(t)\\ \dfrac{-2s}{t^3}+\phi'(t)=-lnt-\dfrac{2s}{t^3}=\phi'(t)=-lnt\\ \phi(t)=-\int lnt dt=-(tlnt-\int 1dt)=-tlnt+t+C1\\ \dfrac{s}{t^2}-tlnt+t=C$

Осталось проверить, является ли t=0 решением диффура: не является, т.к. 0 не входит в область определения функции $lnt$, а значит все решения дифф. ур. задаются вышеприведенным соотношением.