Question

|cosx-2sinx|+cosx=0
Может ли кто объяснить решение этого уравнения?
У меня получаеться +-3pi/4 +2pik и pi +2pik
ответ: 3pi/4 + 2pik, pi+2pik (не могу понять почему не +-3pi/4)

Answer 1

$|\cos x - 2\sin x| + \cos x = 0$

$|\cos x - 2\sin x| = -\cos x$

$\left\{\begin{array}{ccc}\left[\begin{array}{ccc}\cos x - 2\sin x = -\cos x\\\cos x - 2\sin x = \cos x \ \ \\\end{array}\right \\-\cos x \geq 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\\end{array}\right$

$\left\{\begin{array}{ccc}\left[\begin{array}{ccc}2\cos x - 2\sin x = 0 \\ - 2\sin x = 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\\end{array}\right \\\cos x \leq 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\\end{array}\right$

1) Решим неравенство:

$\cos x \leq 0$

$x \in \left[\dfrac{\pi}{2} + 2\pi n; \ \dfrac{3\pi}{2} + 2\pi n \right], \ n \in Z$

2) Решим первое уравнение совокупности:

$2\cos x - 2 \sin x = 0$

$\cos x - \sin x = 0$

$\cos x = \sin x \ \ \ | : \cos x \neq 0$

$\text{tg} \ x = 1\\x = \dfrac{\pi}{4} + \pi n, \ n \in Z$

Здесь, если $n = 0$, то $x = \dfrac{\pi}{4} \notin \left(\dfrac{\pi}{2}; \ \dfrac{3\pi}{2} \right)$, а если $n = 1$, то $x = \dfrac{\pi}{4} + \pi = \dfrac{5\pi}{4} \in \left(\dfrac{\pi}{2}; \ \dfrac{3\pi}{2} \right)$

Таким образом, наименьший положительный период должен быть $2\pi$, поэтому

$x = \dfrac{5\pi}{4} + 2\pi n, \ n \in Z$

3) Решим второе уравнение совокупности:

$-2\sin x = 0$

$\sin x = 0$

$x = \pi k, \ k \in Z$

Здесь, если $k = 0$, то $x = 0 \notin \left[\dfrac{\pi}{2}; \ \dfrac{3\pi}{2} \right]$, а если $k = 1$, то $x = \pi \in \left[\dfrac{\pi}{2}; \ \dfrac{3\pi}{2} \right]$

Таким образом, наименьший положительный период должен быть $2\pi$, поэтому

$x = \pi + 2\pi k, \ k \in Z$

ответ: $x = \dfrac{5\pi}{4} + 2\pi n, \ x = \pi + 2\pi k, \ n \in Z, \ k \in Z$