Question

Менеджер т�лекоммуникационной компании одной маленькой деревушки решил записать количество звонков, поступающих в течение каждых пяти минут рабочего дня, так как обеспокоен во не придется ли покупать новое оборудование? Считая, что рассматривается распределение Пуассона. В выборке 10 000 значений.
Из выборки следует, что:
0 звонков за 5 минут - 1156
1 звонков за 5 минут - 2426
2 звонков за 5 минут - 2691
3 звонков за 5 минут - 1993
4 звонков за 5 минут - 1024
5 звонков за 5 минут - 455
6 звонков за 5 минут - 168
7 звонков за 5 минут - 70
8 звонков за 5 минут - 15
9 звонков за 5 минут - 2

1. Укажите левую границу диапазона, в который с вероятностью 0,95 попадает параметр θ.

2. Укажите правую границу диапазона, в который с вероятностью 0,95 попадает параметр θ.

3. Какую сумму заработает компания за 5 минут, при максимально возможном среднем количестве звонков, если за каждый звонок она получает доход в 2 рубля?

Answer 1

Для решения задачи о распределении Пуассона, сначала нам нужно найти оценку параметра θ (среднее количество звонков за 5 минут), используя данные выборки. Для этого мы можем воспользоваться формулой:

θ̄ = Σ (xi * ni) / Σ ni,

где xi - количество звонков за 5 минут, ni - количество наблюдений для соответствующего значения xi.

1. Левая граница диапазона:

θ̄ = (0 * 1156 + 1 * 2426 + 2 * 2691 + 3 * 1993 + 4 * 1024 + 5 * 455 + 6 * 168 + 7 * 70 + 8 * 15 + 9 * 2) / 10000 = 2.48 (округляем до двух знаков)

С помощью формулы для нахождения левой границы диапазона доверительного интервала можно найти значение:

Left boundary = θ̄ - Z * sqrt(θ̄ / n),

где Z - критическое значение стандартного нормального распределения, которое соответствует уровню значимости 0.975 (так как мы ищем доверительный интервал с вероятностью 0.95). Значение Z для 0.975 - 1.96.

Left boundary = 2.48 - 1.96 * sqrt(2.48 / 10000) = 2.44 (округляем до двух знаков)

Ответ: Левая граница диапазона, в который с вероятностью 0,95 попадает параметр θ, равна 2.44.

2. Правая граница диапазона:

Right boundary = θ̄ + Z * sqrt(θ̄ / n)

Right boundary = 2.48 + 1.96 * sqrt(2.48 / 10000) = 2.52 (округляем до двух знаков)

Ответ: Правая граница диапазона, в который с вероятностью 0,95 попадает параметр θ, равна 2.52.

3. Для нахождения максимально возможного среднего количества звонков за 5 минут мы должны найти максимальное значение xi в выборке.

Максимальное значение xi в выборке равно 9.

Теперь мы можем найти сумму заработка компании за 5 минут, умножив максимальное значение xi на доход за один звонок.

Заработок компании за 5 минут = 9 * 2 = 18 рублей.

Ответ: Компания заработает максимально возможную сумму в 18 рублей за 5 минут.