Question

Y=4+x, y=x^2 -2x
Найти площадь фигуры ограниченную кривыми, с подробным решением

Answer 1

Пошаговое объяснение:

$\[\left\{\begin{gathered}y=4+x\hfill\\y={x^2}-2x\hfill\\\end{gathered}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{gathered}y=4+x\hfill\\4+x={x^2}-2x\hfill\\\end{gathered}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{gathered}y=4+x\hfill\\{x^2}-3x-4=0\hfill\\\end{gathered}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{gathered}{y_1}=8;\;{y_2}=3\hfill\\{x_1}=4;\;{x_2}=-1\hfill\\\end{gathered}\right.\]$

$\[\begin{gathered}{x^2}-3x-4=0\hfill\\D={b^2}-4ac={\left({-3}\right)^2}+4\cdot1\cdot4=9+16=25\hfill\\{x_{1;2}}=\frac{{-b\pm\sqrt D}}{{2a}}=\frac{{3\pm\sqrt{25}}}{{2\cdot1}}=\frac{{3\pm5}}{2}\hfill\\{x_1}=\frac{{3+5}}{2}=4\hfill\\{x_2}=\frac{{3-5}}{2}=-1\hfill\\\end{gathered}\]$

Парабола и прямая пересекаются в точках (4; 8) и (-1; 3)

Для того, чтобы получить площадь фигуры ограниченной линиями, необходимо вычислить определенный интеграл вида:

$\displaystyle \[\int\limits_a^b {\left( {f(x) - g(x)} \right)dx} \]$

где a = x₂, b = x₁

$\[\begin{gathered}f(x)=4+x\hfill\\g(x)={x^2}-2x\hfill\\\end{gathered}\]$

$\displaystyle \[\int\limits_{-1}^4{(4+x)dx-\int\limits_{-1}^4(}{x^2}-2x)dx=\frac{{55}}{2}-\frac{{20}}{3}=\boxed{\frac{{125}}{6}}\]$

$\displaystyle \[\begin{gathered}\int\limits_{-1}^4{(4+x)dx=\left({4x+\frac{{{x^2}}}{2}}\right)}\mathop|\limits_{-1}^4=\left({4\cdot4+\frac{{{4^2}}}{2}}\right)-\left({4\cdot(-1)+\frac{{{{(-1)}^2}}}{2}}\right)=24+\frac{7}{2}=\frac{{55}}{2}\hfill\\\int\limits_{-1}^4{({x^2}-2x)dx=}\left({\frac{{{x^3}}}{3}-{x^2}}\right)\mathop|\limits_{-1}^4=\left({\frac{{{4^3}}}{3}-{4^2}}\right)-\left({\frac{{{{(-1)}^3}}}{3}-{{(-1)}^2}}\right)=\frac{{16}}{3}+\frac{4}{3}=\frac{{20}}{3}\hfill\\\end{gathered}\]$