Question

1. Знайти загальний вигляд первісної: f(x) = 3x -8x
2. Знайти первісну функції , графік якої проходить через початок координат.

Answer 1

1) $F(x)=\displaystyle \int (3x^2-8x)dx=x^3-4x^2+C$

2) Загальний вигляд первісної $F(x)=\displaystyle \int (e^{2x}-\cos x)dx=\dfrac{1}{2}e^{2x}-\sin x+C$ і ця первісна проходить через точку (0;0), тобто, підставимо координати точки в загальний вигляд первісної

$0=\dfrac{1}{2}+C\\ \\ C=-\dfrac{1}{2}$

Відповідь: $F(x)=\dfrac{1}{2}e^{2x}-\sin x-\dfrac{1}{2}$

Answer 2

Добрый день! Конечно, я помогу вам с решением задачи.

1. Чтобы найти общий вид первообразной функции f(x) = 3x - 8x, мы должны воспользоваться правилом интегрирования для суммы и разности функций. В данном случае, мы получаем первообразную функцию F(x), которая будет равна сумме первообразной для 3x и первообразной для -8x. Производная от первой функции равна 3, а производная от второй функции равна -8, поэтому первообразные будут следующими:

∫3x dx = (3/2)x^2 + C1
∫(-8x) dx = (-8/2)x^2 + C2

Здесь C1 и C2 - произвольные константы. Теперь мы можем записать общий вид первообразной функции f(x):

F(x) = (3/2)x^2 + C1 - (8/2)x^2 + C2

Мы можем объединить константы C1 и C2 в одну константу С, получив окончательный ответ:

F(x) = (3/2)x^2 - (8/2)x^2 + C

2. Для того чтобы найти первообразную функцию, график которой проходит через начало координат (0,0), нам требуется решить следующее уравнение:

F(0) = 0

Подставив это в наше предыдущее уравнение, мы получаем:

(3/2)(0)^2 - (8/2)(0)^2 + C = 0
0 - 0 + C = 0
C = 0

Теперь мы можем вставить эту константу в общий вид первообразной функции:

F(x) = (3/2)x^2 - (8/2)x^2 + 0
F(x) = (3/2 - 4/2)x^2
F(x) = (-1/2)x^2

Таким образом, искомой первообразной функцией является F(x) = (-1/2)x^2.

Надеюсь, что я смог дать вам подробное и понятное объяснение решения задачи. Если остались еще вопросы, пожалуйста, сообщите мне.