Question

Восемь последовательных трехзначных чисел таковы что каждое из них делится на свою последнюю цифру. Чему равна сумма цифр меньшего из этих восьми чисел?

Answer 1

Среди этих чисел не может быть числа, оканчивающегося на 0, так как на 0 не делится никакое число.

Значит, эти числа либо от $\overline{ab1}$ до $\overline{ab8}$, либо от $\overline{ab2}$ до $\overline{ab9}$.

Значит, в любом случае среди этих чисел есть следующие:

$\overline{ab2}$, делящееся на 2

$\overline{ab3}$, делящееся на 3

$\overline{ab4}$, делящееся на 4

$\overline{ab5}$, делящееся на 5

$\overline{ab6}$, делящееся на 6

$\overline{ab7}$, делящееся на 7

$\overline{ab8}$, делящееся на 8

Рассмотрим утверждение "$\overline{ab4}$ делится на 4". Число делится на 4, если число, образованное двумя последними цифрами делится на 4. Значит $\overline{b4}$ делится на 4, $\overline{b0}$ делится на 4, $10b$ делится на 4, $5b$ делится на 2, значит $b$ - четное.

Рассмотрим утверждение "$\overline{ab3}$ делится на 3". Число делится на 3, если сумма цифр числа делится на 3. Значит, $a+b+3$ делится на 3, $a+b$ делится на 3. Выпишем пары цифр, где $a\geq 0$, а $b$ - четное, в сумме кратные 3: (1; 2); (1; 8); (2; 4); (3; 0); (3; 6); (4; 2); (4; 8); (5; 4); (6; 0); (6; 6); (7; 2); (7; 8); (8; 4); (9; 0); (9; 6).

Рассмотрим утверждение "$\overline{ab7}$ делится на 7". Если $\overline{ab7}$ делится на 7, то $\overline{ab0}$ делится на 7, $\overline{ab}$ делится на 7. Из ранее выписанных пар только пары (4; 2); (8; 4) удовлетворяют этому условию.

Мы учили делимость на 3, 4 и 7. Делимость на 2, 5 и 6 будет выполняться автоматически. Проверим делимость на 8. Число 428 не делится на 8, а число 848 делится на 8.

Число 841, очевидно, делится на 1, а число 849 не делится на 9. Значит, это числа от 841 до 848, а сумма цифр наименьшего числа равна 8+4+1=13.

ответ: 13