Question

Исследуйте на экстремум следующие функции:
1) у=х2^2+3х ;
2) у=-х2^2+2х+3

Answer 1

Добрый день! Я с удовольствием помогу вам исследовать эти функции на экстремумы.

1) Функция у = х^2 + 3х.

Для начала, давайте найдем производную этой функции. Для этого применим правило дифференцирования для суммы и правило дифференцирования для произведения.

Производная функции y равна:

y' = (x^2)' + (3x)'

Раскрывая скобки, получаем:

y' = 2x + 3

Теперь найдем значения x, для которых производная равна нулю. Эти значения будут потенциальными точками экстремума функции.

2x + 3 = 0

2x = -3

x = -3/2

Теперь давайте проверим, является ли эта точка точкой минимума или максимума, с помощью второй производной.

Возьмем вторую производную функции y:

y'' = (2x + 3)'

y'' = 2

Так как вторая производная является постоянной и положительной, это означает, что точка x = -3/2 является точкой минимума функции.

2) Функция y = -x^2 + 2x + 3.

Давайте снова начнем с поиска производной этой функции:

y' = (-x^2 + 2x + 3)'

y' = -2x + 2

На этот раз, найдем значения x, для которых производная равна нулю:

-2x + 2 = 0

-2x = -2

x = -2/-2

x = 1

Теперь проверим, какой это экстремум, опять же с помощью второй производной:

y'' = (-2x + 2)'

y'' = -2

Так как вторая производная является постоянной и отрицательной, это означает, что точка x = 1 является точкой максимума функции.

Итак, мы исследовали функции у = х^2 + 3х и у = -х^2 + 2х + 3 на экстремумы. Данные функции имеют следующие точки экстремума:

- у = х^2 + 3х имеет точку минимума при x = -3/2.
- у = -х^2 + 2х + 3 имеет точку максимума при x = 1.

Я надеюсь, что это решение было полезным и понятным для вас. Если у вас остались вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их!