Question

Розглянемо дев'ятизначні числа, в записі яких кожна цифра від 1 до
9 зустрічається тільки один раз. Доведіть, що сума всіх цих чисел ділиться на
111 111 111.

Answer 1

Пошаговое объяснение:

Рассмотрим   девятизначное число вида a₁a₂a₃a₄a₅a₆a₇a₈a₉=a₁·10⁸+a₂·10⁷+a₃·10⁶+a₄·10⁵+a₅·10⁴+a₆·10³+a₇·10²+a₈·10¹+a₉, у которого все цифры различны.

Разобъём данные девять цифр на пары (a;10-a)={(1;9); (2;8); (3;7);(4;6);(5;5);(6;4);(7;3);(8;2);(9;1)}

Сопоставим каждое девятизначное число из условия другому числу след образом.

a₁a₂a₃a₄a₅a₆a₇a₈a₉,↔(10-a₁)(10-a₂)(10-a₃)(10-a₄)(10-a₅)(10-)(10-a₆)(10-a₇)(10-a₈)(10-a₉)

Однозначность такого сопоставления очевидно

Сумма любых двух чисел из таких пар равна

(a₁·10⁸+a₂·10⁷+a₃·10⁶+a₄·10⁵+a₅·10⁴+a₆·10³+a₇·10²+a₈·10¹+a₉)+

(10-a₁)·10⁸+(10-a₂)·10⁷+(10-a₃)·10⁶+(10-a₄)·10⁵+(10-a₅)·10⁴+(10-a₆)·10³+(10-a₇)·10²+(10-a₈)·10¹+a₉)=

10·10⁸+10·10⁷+10·10⁶+10·10⁵+10·10⁴+10·10³+10·10²+10·10¹+10=

=10⁹+10⁸+10⁷+10⁶+10⁵+10⁴+10³+10²+10¹+10=1111111110

Количество же таких пар равно 9!/2

Значить сумма всех чисел удовлетворяющих условию равна

1111111110·9!/2=1111111110·7!·36 что кратно 111111111

Ч.Т.Д.