Question

Как можно найти радиус с центром?

Answer 1

Объясняю, как я это получил:

Выразим y из обоих уравнений.Выполним необходимые расчеты.

Запись на языке математики:

$y=-\dfrac{3}{4}x+3\\y=\dfrac{4}{3}x+4\\\\-\dfrac{3}{4}\times \dfrac{4}{3}=-1$

Это упростит нам задачу и даст возможность пользоваться формулой:

$r=\dfrac{a+b-c}{2}$

Это удобнее, чем считать по, например, этой формуле:

$r=\dfrac{2S}{a+b+c}$

Введем систему координат, как показано на рисунке (см. прикрепленный файл)

Определим координаты вершины треугольника. Замечу, что в случаях, где важна точность НЕ ДОПУСТИМ графический метод! Поэтому будем поочередно брать 2 уравнения и записывать систему.

Пример для первой вершины:

$3x+4y-12=0\\y=0\\\\=3x=12\\x=4\\y=0$

Координата первой вершины - (4; 0).

Аналогично находим координаты двух других вершин:

(-3; 0) и (-0.48;  3.36)

Теперь найдем стороны треугольника:

$a=\sqrt{(-0.48-(-3))^2+(3.36-0)^2)}=4.2$

Аналогично:

$b=5.6$

Последняя сторона находится проще:

$c=3+4=7$

Применим формулу, о которой я упоминал выше и найдем радиус вписанной в треугольник окружности:

$r=\dfrac{4.2+5.6-7}{2}=1.4$

Радиус вписанной в треугольник окружности равен 1.4;

Второй этап решения:

Найдем центр вписанной окружности в треугольник. Найдем длину отрезка, соединяющего вершину треугольника (не при прямом угле) с центром вписанной в него окружности. Проведем радиус к касательной. Он ей перпендикулярен. Вычислим длину катета получившегося прямоугольного треугольника:

$5.6-1.4=4.2$

По теореме Пифагора:

$d_1=\sqrt{4.2^2+1.4^2}=\dfrac{7\sqrt{10}}{5}$

Эту же длину можно получит следующим образом:

$d_1=\sqrt{(4-x)^2+(0-y)^2}$

Получили уравнение с 2-мя неизвестными:

$\sqrt{(x-4)^2+y^2}=\dfrac{7\sqrt{10}}{5}$

Если мы получим второе уравнение с такими же неизвестными, то сможем решить систему и получить ответ.

Найдем длину отрезка, соединяющего другую вершину треугольника с центром окружности. Проведем радиус к касательной. Он ей перпендикулярен. Вычислим длину катета получившегося прямоугольного треугольника:

$4.2-1.4=2.8$

По теореме Пифагора:

$d_2=\sqrt{2.8^2+1.4^2}=\dfrac{7\sqrt{5}}{5}$

Эту же длину можно получит следующим образом:

$d_2=\sqrt{(-3-x)^2+(0-y)^2}$

Получили новое уравнение с 2-мя неизвестными:

$\sqrt{(x+3)^2+y^2}=\dfrac{7\sqrt{5}}{5}$

Получили систему уравнений:

$\sqrt{(x-4)^2+y^2}=\dfrac{7\sqrt{10}}{5}\\\sqrt{(x+3)^2+y^2}=\dfrac{7\sqrt{5}}{5}$

Система легко решается возведением в квадрат обоих частей обоих уравнений.

В результате получили две пары точек:

$\left(-\dfrac{1}{5};\; -\dfrac{7}{5}\right)\\\left(-\dfrac{1}{5};\; \dfrac{7}{5}\right)$

Очевидно, что центр вписанной в треугольник окружности лежит внутри этого треугольника.

Поэтому центр вписанной в треугольник окружности имеет координаты:

$\left(-\dfrac{1}{5};\; \dfrac{7}{5}\right)$