ответ: 1) dz=e^(x/y)*dx/y-x*e^(x/y)*dy/y²; 2) функция имеет максимум в точке M(2/3; 1/3).
Пошаговое объяснение:
1) z=e^(x/y)
Находим частные производные:
dz/dx=1/y*e^(x/y), dz/dy=-x/y²*e^(x/y).
Полный дифференциал dz=dz/dx*dx+dz/dy*dy=e^(x/y)*dx/y-x*e^(x/y)*dy/y²
2) Находим первые частные производные:
dz/dx=2*y+2*x-2; dz/dy=2*x+8*y-4.
Приравнивая их к нулю, получаем систему уравнений:
x+y-1=0
x+4*y-2=0
Решая её, находим x=2/3, y=1/3 - координаты единственной критической точки М(2/3; 1/3).
Находим вторые частные производные:
d²z/dx²=2; d²z/dxdy=2; d²z/dy²=8. Так как они суть постоянные числа, то и в критической точке они будут иметь те же значения:
A=d²z/dx²(M)=2; B=d²z/dxdy(M)=2; C=d²z/dy²(M)=8.
Так как выражение A*C-B²=2*8-4=12>0, то есть положительно, то в точке М функция действительно имеет экстремум. А так как при этом A=2>0, то этот экстремум является максимумом.
Добрый день! Рассмотрим заданные функции и исследуем их на непрерывность в точке x=5.
1. Функция y= -x³-1
Для исследования на непрерывность функции в точке x=5, мы проверим выполнение трех условий:
1) Функция определена в точке x=5 - это значит, что x=5 входит в область определения функции. В данном случае, функция y= -x³-1 определена для любого значения x.
2) Существует предел функции при x → 5 - для этого нужно проверить, что предел y существует и равен одному и тому же значению при приближении x к 5 справа и слева. Давайте найдем предел функции при приближении x к 5 справа:
lim (x→5+) -x³ - 1 = -(5³) - 1 = -125 - 1 = -126
Теперь найдем предел функции при приближении x к 5 слева:
Мы видим, что предел функции при x → 5 справа не равен пределу слева, следовательно, функция не имеет предела в точке x=5.
3) Значение функции в точке x=5 совпадает с пределом функции:
y(5) = -5³ - 1 = -125 - 1 = -126
Итак, в результате исследования функции y= -x³-1 на непрерывность в точке x=5, мы можем сказать, что функция не непрерывна в данной точке, так как не выполняется второе условие - предел функции не существует при x → 5.
2. Функция y= x-2x²
Аналогично для второй функции, исследуем ее на непрерывность в точке x=5. Повторим три шага:
1) Функция определена в точке x=5 - функция y= x-2x² определена для любого значения x.
2) Проверим, существует ли предел функции при x → 5. Найдем предел функции при приближении x к 5 справа:
Предел функции существует и равен -45 как при приближении x к 5 справа, так и при приближении x к 5 слева.
3) Значение функции в точке x=5 совпадает с пределом функции:
y(5) = 5 - 2(5)² = 5 - 2(25) = 5 - 50 = -45
В результате исследования функции y= x-2x² на непрерывность в точке x=5, мы можем сказать, что функция является непрерывной в данной точке, так как выполняются все три условия для непрерывности.
Надеюсь, этот ответ понятен для вас! Если у вас возникли дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать.
ответ: 1) dz=e^(x/y)*dx/y-x*e^(x/y)*dy/y²; 2) функция имеет максимум в точке M(2/3; 1/3).
Пошаговое объяснение:
1) z=e^(x/y)
Находим частные производные:
dz/dx=1/y*e^(x/y), dz/dy=-x/y²*e^(x/y).
Полный дифференциал dz=dz/dx*dx+dz/dy*dy=e^(x/y)*dx/y-x*e^(x/y)*dy/y²
2) Находим первые частные производные:
dz/dx=2*y+2*x-2; dz/dy=2*x+8*y-4.
Приравнивая их к нулю, получаем систему уравнений:
x+y-1=0
x+4*y-2=0
Решая её, находим x=2/3, y=1/3 - координаты единственной критической точки М(2/3; 1/3).
Находим вторые частные производные:
d²z/dx²=2; d²z/dxdy=2; d²z/dy²=8. Так как они суть постоянные числа, то и в критической точке они будут иметь те же значения:
A=d²z/dx²(M)=2; B=d²z/dxdy(M)=2; C=d²z/dy²(M)=8.
Так как выражение A*C-B²=2*8-4=12>0, то есть положительно, то в точке М функция действительно имеет экстремум. А так как при этом A=2>0, то этот экстремум является максимумом.