Question

При каком значении параметра a касательная к графику функции y=ax2+4x+3 в точке x=2 образует с осью x угол 135°?

Answer 1

Имеем квадратичную функцию $y =ax^{2} + 4x + 3$

Воспользуемся геометрическим смыслом производной: производная $f'(x_{0})$ в точке с абсциссой $x_{0}$ функции $f(x)$ численно равна тангенсу угла наклона касательной, проведенной к данной точке.

Найдем производную функции $y =ax^{2} + 4x + 3$:

$y' = 2ax + 4$

Найдем значение производной в точке с абсциссой $x_{0} = 2$:

$y'_{0} = 2a \cdot 2 + 4 = 4a + 4$

Используем геометрический смысл производной: $y'_{0} = \text{tg} \, \alpha$

$4a + 4 = \text{tg} \, 135^{\circ}$

$4a+ 4 = -1$

$4a = -5$

$a = -\dfrac{5}{4} = -1,25$

Таким образом, если $a = -1,25$ касательная к графику функции $y =ax^{2} + 4x + 3$ в точке $x_{0} = 2$ образует с осью x угол $135^{\circ}.$

ответ: $a = -1,25$