Для выяснения равносильности неравенств, нужно проанализировать условия, при которых эти неравенства выполняются.
Начнем с первого неравенства: х – 9 < 0
Для того чтобы решить неравенство, нужно найти значения переменной x, при которых левая часть неравенства меньше нуля.
Добавим 9 к обеим частям неравенства:
х < 9
Теперь рассмотрим второе неравенство: 3x – 2 > 4(x – 2) – 3
Для начала раскроем скобки:
3x – 2 > 4x – 8 – 3
Упростим выражение:
3x – 2 > 4x – 11
Вычтем 3x и добавим 11 к обеим частям неравенства:
-2 + 11 > 4x – 3x
9 > x
Теперь сравним полученные результаты: х < 9 и 9 > x
Мы видим, что значения переменной x, при которых выполняются оба неравенства, одинаковы.
Таким образом, неравенства х – 9 < 0 и 3x – 2 > 4(x – 2) – 3 равносильны.
№2
Решим каждое неравенство по очереди:
1. √7 − х^2 ≥ −1
Начнем с добавления х^2 к обеим частям:
√7 ≥ х^2 - 1
Теперь избавимся от корня, возведя обе части неравенства в квадрат:
7 ≥ х^4 - 2х^2 + 1
Упростим выражение:
х^4 - 2х^2 - 6 ≥ 0
Факторизуем левую часть неравенства:
(х^2 - 3)(х^2 + 2) ≥ 0
Рассмотрим два случая:
а) х^2 - 3 ≥ 0
Решаем данное уравнение:
х^2 ≥ 3
х ≥ √3 или х ≤ -√3
б) х^2 + 2 ≥ 0
Данное уравнение выполняется для любых значений х.
Теперь объединим полученные результаты:
х ≥ √3 или х ≤ -√3.
2. √х + 8 > х + 2
Начнем с вычитания х и 2 из обеих частей:
√х - х + 6 > 0
Перенесем все члены в одну сторону:
√х - х > -6
Теперь возведем обе части неравенства в квадрат:
х - 2√х + х^2 > 36
Упростим выражение:
х^2 - 2√х > 36
Факторизуем левую часть неравенства:
(√х - 6)(√х + 6) > 0
Рассмотрим два случая:
а) √х - 6 > 0
Решаем данное уравнение:
√х > 6
х > 36
б) √х + 6 > 0
Данное уравнение выполняется для любых значений х.
Объединим полученные результаты:
х > 36.
3. √2х − 8 ≤ √6х + 13
Начнем с добавления 8 к обеим частям:
√2х ≤ √6х + 21
Теперь возведем обе части неравенства в квадрат:
2х ≤ 6х + 42 + √6х + 21(√6х + 21)
Упростим выражение:
2х ≤ 42 + 7√6х + 126х + 21(√6х + 21)
Раскроем скобки:
2х ≤ 42 + 7√6х + 126х + 7(√6х + 21)
Упростим выражение:
2х ≤ 42 + 7√6х + 126х + 7√6х + 147
Упростим его еще раз:
128х - 7√6х ≤ 189
На этом этапе нам сложно найти точное решение неравенства, поэтому воспользуемся графическим методом или методом численного приближения, чтобы найти приблизительные значения для величины х.
№3
Решим уравнение: √2х + 5 - √x = 0
Перенесем √2х и -5 на другую сторону:
√2х = √x - 5
Возводим обе части уравнения в квадрат:
2х = x - 10√x + 25
Упростим выражение:
x = 10√x - 25
Возводим обе части уравнения еще раз в квадрат:
x^2 = 100x - 500√x + 625
Упростим выражение:
x^2 - 100x + 500√x - 625 = 0
На этом этапе нам сложно найти точное решение уравнения, поэтому воспользуемся графическим методом или методом численного приближения, чтобы найти приблизительные значения для величины х.
Для выяснения равносильности неравенств, нужно проанализировать условия, при которых эти неравенства выполняются.
Начнем с первого неравенства: х – 9 < 0
Для того чтобы решить неравенство, нужно найти значения переменной x, при которых левая часть неравенства меньше нуля.
Добавим 9 к обеим частям неравенства:
х < 9
Теперь рассмотрим второе неравенство: 3x – 2 > 4(x – 2) – 3
Для начала раскроем скобки:
3x – 2 > 4x – 8 – 3
Упростим выражение:
3x – 2 > 4x – 11
Вычтем 3x и добавим 11 к обеим частям неравенства:
-2 + 11 > 4x – 3x
9 > x
Теперь сравним полученные результаты: х < 9 и 9 > x
Мы видим, что значения переменной x, при которых выполняются оба неравенства, одинаковы.
Таким образом, неравенства х – 9 < 0 и 3x – 2 > 4(x – 2) – 3 равносильны.
№2
Решим каждое неравенство по очереди:
1. √7 − х^2 ≥ −1
Начнем с добавления х^2 к обеим частям:
√7 ≥ х^2 - 1
Теперь избавимся от корня, возведя обе части неравенства в квадрат:
7 ≥ х^4 - 2х^2 + 1
Упростим выражение:
х^4 - 2х^2 - 6 ≥ 0
Факторизуем левую часть неравенства:
(х^2 - 3)(х^2 + 2) ≥ 0
Рассмотрим два случая:
а) х^2 - 3 ≥ 0
Решаем данное уравнение:
х^2 ≥ 3
х ≥ √3 или х ≤ -√3
б) х^2 + 2 ≥ 0
Данное уравнение выполняется для любых значений х.
Теперь объединим полученные результаты:
х ≥ √3 или х ≤ -√3.
2. √х + 8 > х + 2
Начнем с вычитания х и 2 из обеих частей:
√х - х + 6 > 0
Перенесем все члены в одну сторону:
√х - х > -6
Теперь возведем обе части неравенства в квадрат:
х - 2√х + х^2 > 36
Упростим выражение:
х^2 - 2√х > 36
Факторизуем левую часть неравенства:
(√х - 6)(√х + 6) > 0
Рассмотрим два случая:
а) √х - 6 > 0
Решаем данное уравнение:
√х > 6
х > 36
б) √х + 6 > 0
Данное уравнение выполняется для любых значений х.
Объединим полученные результаты:
х > 36.
3. √2х − 8 ≤ √6х + 13
Начнем с добавления 8 к обеим частям:
√2х ≤ √6х + 21
Теперь возведем обе части неравенства в квадрат:
2х ≤ 6х + 42 + √6х + 21(√6х + 21)
Упростим выражение:
2х ≤ 42 + 7√6х + 126х + 21(√6х + 21)
Раскроем скобки:
2х ≤ 42 + 7√6х + 126х + 7(√6х + 21)
Упростим выражение:
2х ≤ 42 + 7√6х + 126х + 7√6х + 147
Упростим его еще раз:
128х - 7√6х ≤ 189
На этом этапе нам сложно найти точное решение неравенства, поэтому воспользуемся графическим методом или методом численного приближения, чтобы найти приблизительные значения для величины х.
№3
Решим уравнение: √2х + 5 - √x = 0
Перенесем √2х и -5 на другую сторону:
√2х = √x - 5
Возводим обе части уравнения в квадрат:
2х = x - 10√x + 25
Упростим выражение:
x = 10√x - 25
Возводим обе части уравнения еще раз в квадрат:
x^2 = 100x - 500√x + 625
Упростим выражение:
x^2 - 100x + 500√x - 625 = 0
На этом этапе нам сложно найти точное решение уравнения, поэтому воспользуемся графическим методом или методом численного приближения, чтобы найти приблизительные значения для величины х.