1 Найдите производную каждой из данных функций:
а) у=х3; б) у=sinx; в) у=tgx; г) у=ех; д) у=2х.
2 Найдите производную каждой из данных функций в указанной точке:
а) f(x)=lnx, f'(½); б) f(x)=log3x, f'(1); в) f(x)= √ х
, f
'(¼);
π
π
г) f(x)=cosx, f'(
2
); д) f(x)=ctgx, f'(
2
);
3 Вычислите производные:
√х
1
а) у=3х2; б) у=4х4; в) у=
2
; г) у= √2 х
; д) у= −√3 х
; е) у=х+
х
; ж) у=
х+3
х
.
4 Вычислите производные:
2− х− х2
а) у=2х2-3х+5; б) у=
2
; в) у=4-х2; г) у=х4-х2; д) у=х5+2х3-
1
у=√ х− 1
2 х
; е)
у=√3 х
; ж)
√ х
.
5 Найдите производную сложной функции:
5
3
а)
у=(√ х+1 )
5
; б)
у=√ х +1
; в)
у=√1+√ х
; г)
у=(( х+1 )4−2 )
; д)
3
у=√2 х3−1
;
у=
1
√ х+ 1е)
х
.
u = y/x
Далее найдем производную отношения y к x:
y' = u'x + u
Теперь подставим полученные значения в исходное уравнение:
2xyy' = y² - 4x²
2x(u'x + u) = (u*x)² - 4x²
2u'x² + 2ux = u²x² - 4x²
2u'x² - u²x² + 2ux + 4x² = 0
Объединим члены с одинаковыми степенями:
(2u' - u²)x² + (2u + 4)x = 0
Теперь проведем следующий шаг. Поскольку это однородное дифференциальное уравнение, мы можем предположить, что x не равно нулю, и разделить обе стороны уравнения на x²:
(2u' - u²) + (2u + 4)/x = 0
Полученное уравнение можно представить в виде двух отдельных уравнений:
2u' - u² = 0 (уравнение 1)
2u + 4 = 0 (уравнение 2)
Теперь решим эти уравнения по отдельности.
Уравнение 2:
2u + 4 = 0
2u = -4
u = -2
Перейдем теперь к уравнению 1:
2u' - u² = 0
Разделим обе части уравнения на u²:
2u' / u² - 1 = 0
Теперь заменим u' / u² на дифференциал от u:
d(u^-1)/dx = 0
Интегрируем обе стороны уравнения по переменной x:
∫d(u^-1)/dx dx = ∫0 dx
∫(d(u^-1)/dx) dx = x + C
Теперь выполняем интегрирование:
u^-1 = x + C
Вспомнив значение u (y/x), получим:
(y/x)^-1 = x + C
1/(y/x) = x + C
x/y = x + C
Теперь решим полученное уравнение относительно y:
1 = xy + Cy
xy + Cy - 1 = 0
Данное уравнение является общим решением исходного дифференциального уравнения.