Question

Найти полный дифференциал функции z = ln ( 3x^2-2y^2)

Answer 1

Хорошо, я с удовольствием выступлю в роли школьного учителя и помогу тебе решить эту задачу!

Для начала, нам нужно найти частные производные функции z = ln (3x^2 - 2y^2) по переменным x и y. Затем мы умножим эти производные на соответствующие переменные dx и dy и сложим полученные произведения, чтобы найти полный дифференциал.

1. Найдем частные производные по x и y.

Чтобы найти частную производную по x, мы будем считать, что y является постоянным значением.

Частная производная по x:
∂z/∂x = (∂/∂x) ln (3x^2 - 2y^2)

Для нахождения производной логарифма нам понадобится использовать цепное правило производных. В данном случае, внутренняя функция, от которой мы берем логарифм, это (3x^2 - 2y^2).

Дифференцируем внутреннюю функцию:
d(3x^2 - 2y^2)/dx = 6x

Теперь дифференцируем логарифм внутренней функции:
(∂/∂x) ln (3x^2 - 2y^2) = 1/(3x^2 - 2y^2) * 6x = 6x/(3x^2 - 2y^2)

Чтобы найти частную производную по y, мы будем считать, что x является постоянным значением.

Частная производная по y:
∂z/∂y = (∂/∂y) ln (3x^2 - 2y^2)

Аналогично, дифференцируем внутреннюю функцию:
d(3x^2 - 2y^2)/dy = -4y

Теперь дифференцируем логарифм внутренней функции:
(∂/∂y) ln (3x^2 - 2y^2) = 1/(3x^2 - 2y^2) * (-4y) = -4y/(3x^2 - 2y^2)

2. Теперь умножим частные производные на соответствующие переменные dx и dy:
dz = (∂z/∂x)dx + (∂z/∂y)dy

Заменяем частные производные, которые мы найдем ранее:
dz = (6x/(3x^2 - 2y^2))dx + (-4y/(3x^2 - 2y^2))dy

3. В итоге получаем полный дифференциал функции z:
dz = (6x/(3x^2 - 2y^2))dx + (-4y/(3x^2 - 2y^2))dy

Это и есть ответ на задачу. Мы нашли полный дифференциал функции z = ln (3x^2 - 2y^2).